Đề thi olympic 8 (2015 - 2016)

Thứ hai - 02/08/2021 10:26

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS THANH THÙY	ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 8 Năm học: 2015 - 2016
	Thời gian: 120 phút

Câu 1 ( 6 điểm )

Giải các phương trình:

a, (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680
b,

2. Giải bất phương trình:

Câu 2 ( 5 điểm )
1. Tìm dư của phép chia đa thức x²⁷ + x⁹ + x³ + x cho đa thức x² - 1
2. Cho đa thức P(x) = x²+ bx + c, trong đó b và c là các số nguyên. Biết rằng đa thức x⁴+ 6x²+ 25 và 3x⁴+ 4x²+ 28x + 5 đều chia hết cho P(x). Tính P(1)
Câu 3 ( 2 điểm )
Cho x, y thỏa mãn : x² + y² = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = x⁶ + y⁶

Câu 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC > AB) , đường cao AH
(H

BC) . Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E .

Chứng minh rằng BEC đồng dạng ADC .Tính độ dài đoạn BE theo

m = AB

Gọi M là trung điểm của đoạn BE . Chứng minh rằng tam giác BHM đồng dạng với tam giác BEC . Tính số đo của góc AHM.
Tia AM cắt BC tại G . Chứng minh :

----------- Hết -------------

phßng GD& §t Thanh oai
TRƯỜNG THCS THANH THÙY

híng dÉn chÊm thi olympic
N¨m häc 2015 – 2016
M«n thi: To¸n Líp 8

Câu

Nội dung

Điểm

Câu 1
(6điểm)

a, (x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7) = 1680

x = -1, x = 12
b)

(1)
ĐKXĐ: x ≠ - 4; - 5; - 6; - 7
(1)

x = 2 hoặc x = - 13

2. Xét hiệu :

(I) ( đk: x ≠ 1)
(I)

….

2,0đ.

0,5đ.
.
0,5đ.

1,0đ

1,0đ.

1,0đ.

Câu 2
(6điểm)

1. x²⁷ + x⁹ + x³ + x = x²⁷ – x + x⁹ – x + x³ - x + 4x
= x(x²⁶ - 1) + x(x⁸ - 1) + x(x² - 1) + 4x
…

x²⁷ + x⁹ + x³ + x chia cho x² – 1 dư 4x.

2. x⁴+ 6x²+ 25 =(x² + 2x + 5)(x²- 2x + 5)

3x⁴+ 4x²+ 28x + 5 = (3x² + 6x + 1)(x² - 2x + 5)
Vì các đa thức x⁴+ 6x²+ 25 và 3x⁴+ 4x²+ 28x + 5 đều chia hết cho P(x) = x²+ bx + c nên P(x) là nhân tử chung bậc hai của hai đa thức trên, nên P(x) = x² - 2x + 5
P(1) = 4

1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.

0,75 đ.
0,75 đ.

1đ

0,5đ

Câu 3 2điểm

Ta có A = x⁶ + y⁶ = (x²)³ + (y²)³ = (x² + y²)(x⁴ + y⁴ – x²y² )
= x⁴ + y⁴ – x²y² , (Vì x² + y² = 1)
= (x² + y²)² – 3x²y² = 1 - 3x²y²

0,75 đ

Vì x²y² ≥ 0 với mọi x, y nên 3x²y² ≥ 0

1 - 3x²y² ≤ 1 với mọi x, y
Hay A ≤ 1

0,25đ

max A = 1

x²y² = 0

(1)
Mà x² + y² = 1 nên (1)

0,25đ

0,5đ

Vậy max A = 1

x = 0 ; y =

hoặc x =

; y = 0

0,25đ

Câu 4

7,0điểm

a)

Vẽ hình

Chứng minh

CDE

CAB (g.g)
Suy ra

Hai tam giác ADC và BEC có:
Góc C chung.

(Chứng minh trên)
Do đó

ADC

BEC (c.g.c).
Suy ra : góc BEC = góc ADC = 135⁰ ( vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên góc AEB = 45⁰ .Do đó tam giác ABE vuông cân tại A .
Suy ra

:

2,5điểm

0,25điểm

0,5điểm
0,25điểm

0,25điểm

0,25điểm

0,25điểm

0,25điểm
0,25điểm
0,25điểm

b)	Ta có: (do ) Mà: ( tam giác AHD vuông cân tại H) Nên Mà (g . g ) Nên :( ) Do đó: (c.g.c), suy ra:	2,5điểm 0,25điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,25điểm 0,25điểm 0,25điểm
c)	Tam giác ABE vuông cân tại A , nên tia AM còn là phân giác của góc BAC. Suy ra AG là phân giác của góc BAC Suy ra: mà Do đó:	2,0điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm 0,5điểm