Các bài toán cơ ban toán 9
- Chủ nhật - 25/07/2021 23:38
- In ra
- Đóng cửa sổ này
TOÁN
Các bài toán cơ bản ôn thi vào lớp 10
1. Bµi tËp 1: (§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT N¨m häc: 2007 – 2009)
1. Kho¶ng c¸ch gi÷a hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 108 km. Hai «t« cïng khëi hµnh mét lóc tõ A ®Õn B, mçi giê xe thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n xe thø hai 6 km nªn ®Õn B tríc xe thø hai 12 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi xe.
2. Hai s©n bay Hµ Néi vµ §µ N½ng c¸ch nhau 600 km. Mét m¸y bay c¸nh qu¹t tõ §µ N½ng ®i Hµ Néi. Sau ®ã 10 phót mét m¸y bay ph¶n lùc tõ Hµ Néi bay ®i §µ N½ng víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc cña m¸y bay c¸nh qu¹t lµ 300 km/h. Nã ®Õn §µ
N½ng tríc khi m¸y bay kia ®Õn Hµ Néi 10 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi m¸y bay.
3. Qu·ng ®êng tõ Thanh Ho¸ - Hµ Néi dµi 150 km. Mét ¤ t« tõ Hµ néi vµo Thanh Ho¸ råi nghØ l¹i thanh Ho¸ 3 giê 15 phót, råi trë vÒ Hµ Néi hÕt tÊt c¶ 10 giê. TÝnh vËn tèc cña « t« lóc vÒ, biÕt r»ng vËn tèc lóc ®i lín h¬n lóc vÒ lµ 10 km/h.
4. Mét «t« ®i trªn qu·ng ®êng dµi 520 km. Sau khi ®i ®îc 240 km th× «t« t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h vµ ®i hÕt qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh vËn tèc cña «t« lóc ban ®Çu, biÕt thêi gian ®i hÕt qu·ng ®êng lµ 8 giê.
5. Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ tØnh A ®Õn ®Ønh B c¸ch nhau 36 km. Sau khi ®i ®îc 2 giê ngêi ®ã nghØ l¹i 15 phót. Sau ®ã ngêi ®i xe ®¹p ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 4 km /h vµ ®Õn B ®óng giê qui ®Þnh. T×m vËn tèc lóc ®Çu cña ngêi ®i xe ®¹p.
6. Hai ngêi ®i xe ®¹p xuÊt ph¸t cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B. vËn tèc cña hä h¬n kÐm nhau 3 km/h, nªn ®Õn B sím muén h¬n nhau 30 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi biÕt
r»ng qu·ng ®êng AB dµi 30 km.
7. Hai ngêi cïng lµm chung mét c«ng viÖc trong 4 giê th× xong. NÕu lµm riªng th× ngêi thø nhÊt lµm xong tríc ngêi thøc hai 6 giê. NÕu lµm riªng th× mçi ngêi lµm trong bao nhiªi l©u xong c«ng viÖc.
Câu 1. Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho.
Câu 2.
Câu 7
Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B đến A hết tất cả 4 giờ. Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/giờ.
Gọi chiều dài của hình chữ nhật đã cho là x (m), với x > 4.
Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là:
(m)
=> diện tích hình chữ nhật đã cho là:
(m2)
Nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là:
(m)
khi đó, diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa nên ta có phương trình:
………….=>
(thoả mãn x>4);
(loại vì không thoả mãn x>4)
Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là
(m).
Câu 2.
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
> 0 với mọi m.
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
= (x1 + x2)2 – 2 x1x2 = 4(m + 2)2 – 2(m2 + 4m +3) = 2m2 + 8m+ 10
= 2(m2 + 4m) + 10
= 2(m + 2)2 + 2 ≥ 2 với mọi m.
Suy ra minA = 2
m + 2 = 0 m = - 2
Vậy với m = - 2 thì A đạt min = 2
Câu 5. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 685 tấn thóc. Hỏi năm ngoái, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Câu 6. quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ một xe máy đi từ A để tới B Lúc 6 giờ 30 phút cùng ngày, một ô tô cũng đi từ A để tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h (Hai xe chạy trên cùng một con đường đã cho). Hai xe nói trên đều đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.
Câu 7
Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B đến A hết tất cả 4 giờ. Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/giờ.
Câu 8
1- Cho đường thẳng (d) : y = ax + b .Tìm a; b để đường thẳng (d) đi qua điểm A( -1 ; 3) và song song với đường thẳng (d’) : y = 5x + 3
2- Cho phương trình ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 ( x là ẩn số ) .Tìm a để phươmg trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn
+ 
= 4
Câu 9
Cho phương trình (ẩn số x):
.
1. Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm
thỏa 
.
Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.
C©u 10
Qu¶ng ®êng AB dµi 156 km. Mét ngêi ®i xe m¸y tö A, mét ngêi ®i xe ®¹p tõ B. Hai xe xuÊt ph¸t cïng mét lóc vµ sau 3 giê gÆp nhau. BiÕt r»ng vËn tèc cña ngêi ®I xe m¸y nhanh h¬n vËn tèc cña ngêi ®I xe ®¹p lµ 28 km/h. TÝnh vËn tèc cña mçi xe?
C©u 11
Chjo ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m-1)x + m2 – 6 =0 ( m lµ tham sè).
Hai xe khởi hành cùng một lúc đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 100km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km/h nên đã đến B sớm hơm 30 phút, Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 13
a/ Một xe lửa đi từ ga A đến ga B.Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ ga A đến ga B với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h.Hai xe lửa gặp nhau tại một ga cách ga B 300 km.Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng quãng đường sắt từ ga A đến ga B dài 645 km.
Câu 14
Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0
Đáp án a) x1 =
; x2 = 
Mà A=x12 – x1x2 + x22 = (x1 + x2 )2 – 3x1x2 = 4(m – 3)2 + 3
3
GTNN của A = 3 
m = 3
Bài 15Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1)
Để (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 khi và chỉ khi x1x2 + (x1 + x2) m - 2 m2 – 12 = 0. S khi và chỉ khi : 4m + m.2(m + 1) – 2m2 – 12 = 0 khi và chỉ khi 6m = 12 khi và chỉ khi m= 2
Câu 16
Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi bằng 198 m , diện tích bằng 2430 m2 . Tính chiều dài và chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật đã cho
Câu 17
Khoảng cách giữa hai bến sông A và b là 30 km. Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A. Tổng thời gian ca nô đi xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ . Tìm vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Câu 19 Một người đi xe đạp từ A tới B, quãng đường AB dài 24 km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A tới B.
2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện
Câu 20
Cho biểu thức
, với 
a. Rút gọn biểu thức Q
b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
Câu 21
Cho phương trình
, với x là ẩn số, 
a. Giải phương trình đã cho khi m = – 2
b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
và 
. Tìm hệ thức liên hệ giữa và mà không phụ thuộc vào m.
Câu 22
Cho hệ phương trình
, với
a. Giải hệ đã cho khi m = –3
b. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
Câu 24
Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*)
1. Giải phương trình (*) với a = 1.
2. Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị của a để biểu thức:
N=
có giá trị nhỏ nhất.
Câu 25Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Quãng đường sông AB dài 78 km. Một chiếc thuyền máy đi từ A về phía B. Sau đó 1 giờ, một chiếc ca nô đi từ B về phía A. Thuyền và ca nô gặp nhau tại C cách B 36 km. Tính thời gian của thuyền, thời gian của ca nô đã đi từ lúc khởi hành đến khi gặp nhau, biết vận
tốc của ca nô lớn hơn vận tốc của thuyền là 4 km/h.
Bài 26
Quãng đường từ A đến B dài 50km.Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi.Khi đi được 2 giờ,người ấy dừng lại 30 phút để nghỉ.Muốn đến B đúng thời gian đã định,người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên quãng đường còn lại.Tính vận tốc ban đầu của người đi xe đạp.
Câu 27
1.Rút gọn biểu thức:
với a>0,a
2.Giải hệ pt:
3. Chứng minh rằng pt:
luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của pt đã cho,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 28
Một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ 30 phút thì một ôtô taxi cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe ôtô tải.Tính độ dài quãng đường AB.
Xét Pt:
Vậy pt luôn có nghiệm với mọi m
Theo hệ thức Viet ta có
Theo đề bài
Vậy minB=1 khi và chỉ khi m = -1
Câu 29
Cho biểu thức M = + −
Một đội thợ mỏ phải khai thác 260 tấn than trong một thời hạn nhất định. Trên thực tế, mỗi ngày đội đều khai thác vượt định mức 3 tấn, do đó họ đã khai thác được 261 tấn than và xong trước thời hạn một ngày.
Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?
Bài 31
Cho parapol
và đường thẳng 
(m là tham số).
1/ Xác định tất cả các giá trị của m để
song song với đường thẳng 
.
2/ Chứng minh rằng với mọi m,luôn cắt 
tại hai điểm phân biệt A và B.
3/ Ký hiệu
là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho 
.
Bài 32
1/ Đường thẳng song song với đường thẳng khi
2/ Phương trình hoành độ giao điểm củavà là 
là phương trình bậc hai có 
với mọi m nên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do đó luôn cắt tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m.
3/ Ký hiệu là hoành độ của điểm A và điểm B thì là nghiệm của phương trình 
. Áp dụng hệ thức Viet ta có: 
do đó 
Bài 33
Cho phương trình: mx2 – (4m -2)x + 3m – 2 = 0 (1) ( m là tham số).
1) Giải phương trình (1) khi m = 2.
2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
3) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có các nghiệm là nghiệm nguyên.
Bài 3 4
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m. Nếu tăng thêm chiều dài 3m và chiều rộng 2m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.
Câu 2:
1.Thay m = 2 vào pt ta có:
Ta thấy: 1 – 3 +2 = 0 nên pt có 2 nghiệm:
2. * Nếu m = 0 thì
.
Suy ra: Pt luôn có nghiệm với m=0
*Nếu m
0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x.
Ta có:
Kết luận: Kết hợp 2 trường hợp ta có: pt luôn có nghiệm với mọi m (đpcm)
3. * Nếu m = 0 thì nguyên
Suy ra: Với m = 0 pt có nghiệm nguyên
* Nếu m # 0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. Từ ý 2 ta có: pt có 2 nghiệm:
Để pt (1) có nghiệm nguyên thì nghiệm
phải nguyên 
hay m là ước của 2 
m = {-2; -1; 1; 2}
Kết luận: Với m = {
} thì pt có nghiệm nguyên
Câu 35
Cho biểu thức:
với a >0 và 
.
Bài 37Cho phương trình x2 – 2mx – 2m – 5 = 0 (m là tham số)
1/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
2/ Tìm m để
đạt giá trị nhỏ nhất (x1; x2 là hai nghiệm của phương trình)
Bài 38 Cho phương trình x2 – 2mx – 2m – 5 = 0 (m là tham số)
1/ Ta có
’ = (-m)2 – 1 (-2m – 5)
= m2 + 2m + 5
= (m + 1)2 + 4
Vì (m + 1)2 0 với mọi m
’ > 0 với mọi m
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
2/ Vì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
16
đạt giá trị nhỏ nhất là 4
Bài 39
Cho phương trình: x2 – 2(m + 4 )x + m2 – 8 = 0 (1) , với m là tham số.
Bài 40
Trong đợt quyên góp ủng hộ người nghèo, lớp 9A và 9B có 79 học sinh quyên góp được 975000 đồng. Mỗi học sinh lớp 9A đóng góp 10000 đồng, mỗi học sinh lớp 9B đóng góp 15000 đồng. Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 41
Cho phương trình:
(*)
1/ Chứng minh rằng với m < 0 phương trình (*) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt
.
2/ Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt thỏa hệ thức 
1/ Phương trình: (*)
Ta có:
= [-(m + 2)]2 – (m2 + 5m + 4) = m2 + 4m + 4 – m2 – 5m – 4 = -m
Với m < 0 = -m > 0 Phương trình (*) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt
2/ Theo định lí Viét ta có:
(I)
Theo đề ta có:
(1)
Thay (I) vào (1) ta có:
(Đk: m ≠ -1 và m ≠ -4)
2(m + 2) – (m2 + 5m + 4) = 0
2m + 4 – m2 – 5m – 4 = 0
m2 + 3m = 0
m(m + 3) = 0
Vậy với m = -3 thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa hệ thức:
C©u 42 Cho biÓu thøc::
víi 
,
a)Rót gän biÓu thøc P
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x=
C©u 43 Cho ba ®êng th¼ng(d1): y= 2x+1; (d2): y=3; (d3): y=kx+5 .
a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng d1 vµ d2.
b) T×m k ®Ó ba ®êng th¼ng trªn ®ång quy.
C©u 44 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x: x2-2(m-1)x+2m-4=0 (m lµ tham sè) (1)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 3
b)Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
c) Gäi x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
A = x12+x22
Câu 45Cho phương trình
.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Gọi
, 
là hai nghiệm của phương trình đã cho, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
.
Câu 46: (1 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4.
.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
.
Phương trình có nghiệm
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Điều kiện
.
Theo Vi-ét ta có :
; 
.
.
khi 
(loại vì không thỏa điều kiện ).
Mặt khác :
(vì ) 
.
khi 
.
Kết luận : Khi thì A đạt giá trị nhỏ nhất và .
2. Cho biểu thức P =
Tìm x để biểu thức P có nghĩa; Rút gọn P . Tìm x để P là một số nguyên
Câu 47
=> Pt luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo Vi ét có :
Theo đề bài :
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Câu 48 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
.
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tính giá trị của A khi
.
Bài 49
Hai đội công nhân cùng làm một công việc. Nếu hai đội làm chung thì hoàn thành sau 12 ngày. Nếu mỗi đội làm riêng thì dội một sẽ hoàn thành công việc nhanh hơn đội hai là 7 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đó?
Bài 50 Cho phương trình
(m là tham số)
Cho phương trình x2 – 2 (m+1) x + m2 + 3 = 0
1. Bµi tËp 1: (§Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT N¨m häc: 2007 – 2009)
1. Kho¶ng c¸ch gi÷a hai tØnh A vµ B c¸ch nhau 108 km. Hai «t« cïng khëi hµnh mét lóc tõ A ®Õn B, mçi giê xe thø nhÊt ch¹y nhanh h¬n xe thø hai 6 km nªn ®Õn B tríc xe thø hai 12 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi xe.
2. Hai s©n bay Hµ Néi vµ §µ N½ng c¸ch nhau 600 km. Mét m¸y bay c¸nh qu¹t tõ §µ N½ng ®i Hµ Néi. Sau ®ã 10 phót mét m¸y bay ph¶n lùc tõ Hµ Néi bay ®i §µ N½ng víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc cña m¸y bay c¸nh qu¹t lµ 300 km/h. Nã ®Õn §µ
N½ng tríc khi m¸y bay kia ®Õn Hµ Néi 10 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi m¸y bay.
3. Qu·ng ®êng tõ Thanh Ho¸ - Hµ Néi dµi 150 km. Mét ¤ t« tõ Hµ néi vµo Thanh Ho¸ råi nghØ l¹i thanh Ho¸ 3 giê 15 phót, råi trë vÒ Hµ Néi hÕt tÊt c¶ 10 giê. TÝnh vËn tèc cña « t« lóc vÒ, biÕt r»ng vËn tèc lóc ®i lín h¬n lóc vÒ lµ 10 km/h.
4. Mét «t« ®i trªn qu·ng ®êng dµi 520 km. Sau khi ®i ®îc 240 km th× «t« t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h vµ ®i hÕt qu·ng ®êng cßn l¹i. TÝnh vËn tèc cña «t« lóc ban ®Çu, biÕt thêi gian ®i hÕt qu·ng ®êng lµ 8 giê.
5. Mét ngêi ®i xe ®¹p tõ tØnh A ®Õn ®Ønh B c¸ch nhau 36 km. Sau khi ®i ®îc 2 giê ngêi ®ã nghØ l¹i 15 phót. Sau ®ã ngêi ®i xe ®¹p ph¶i t¨ng vËn tèc thªm 4 km /h vµ ®Õn B ®óng giê qui ®Þnh. T×m vËn tèc lóc ®Çu cña ngêi ®i xe ®¹p.
6. Hai ngêi ®i xe ®¹p xuÊt ph¸t cïng mét lóc ®i tõ A ®Õn B. vËn tèc cña hä h¬n kÐm nhau 3 km/h, nªn ®Õn B sím muén h¬n nhau 30 phót. TÝnh vËn tèc cña mçi ngêi biÕt
r»ng qu·ng ®êng AB dµi 30 km.
7. Hai ngêi cïng lµm chung mét c«ng viÖc trong 4 giê th× xong. NÕu lµm riªng th× ngêi thø nhÊt lµm xong tríc ngêi thøc hai 6 giê. NÕu lµm riªng th× mçi ngêi lµm trong bao nhiªi l©u xong c«ng viÖc.
Câu 1. Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu giảm mỗi chiều đi 2m thì diện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chiều dài hình chữ nhật đã cho.
Câu 2.
- Hai ô tô đi từ A đến B dài 200km. Biết vận tốc xe thứ nhất nhanh hơn vận tốc xe thứ hai là 10km/h nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
Câu 7
Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B đến A hết tất cả 4 giờ. Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/giờ.
Gọi chiều dài của hình chữ nhật đã cho là x (m), với x > 4.
Vì chiều rộng bằng nửa chiều dài nên chiều rộng là:
(m)=> diện tích hình chữ nhật đã cho là:
(m2)Nếu giảm mỗi chiều đi 2 m thì chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là:
(m)khi đó, diện tích hình chữ nhật giảm đi một nửa nên ta có phương trình:
………….=>
(thoả mãn x>4); (loại vì không thoả mãn x>4)Vậy chiều dài của hình chữ nhật đã cho là
(m).Câu 2.
- Hai ô tô đi từ A đến B dài 200km. Biết vận tốc xe thứ nhất nhanh hơn vận tốc xe thứ hai là 10km/h nên xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe.
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
- Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
- Tìm giá trị của m để biểu thức A = đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho phương trình: x2 – 2(m+2)x + m2 + 4m +3 = 0.
- Chứng minh rằng : Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
> 0 với mọi m.Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m.
- phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m. Theo hệ thức Vi-ét ta có :
= (x1 + x2)2 – 2 x1x2 = 4(m + 2)2 – 2(m2 + 4m +3) = 2m2 + 8m+ 10 = 2(m2 + 4m) + 10
= 2(m + 2)2 + 2 ≥ 2 với mọi m.
Suy ra minA = 2
m + 2 = 0 m = - 2 Vậy với m = - 2 thì A đạt min = 2
Câu 5. Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 600 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 10%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 20% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 685 tấn thóc. Hỏi năm ngoái, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Câu 6. quãng đường từ địa điểm A tới địa điểm B dài 90 km. Lúc 6 giờ một xe máy đi từ A để tới B Lúc 6 giờ 30 phút cùng ngày, một ô tô cũng đi từ A để tới B với vận tốc lớn hơn vận tốc xe máy 15 km/h (Hai xe chạy trên cùng một con đường đã cho). Hai xe nói trên đều đến B cùng lúc. Tính vận tốc mỗi xe.
Câu 7
Một ca nô chạy xuôi dòng từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B đến A hết tất cả 4 giờ. Tính vận tốc ca nô khi nước yên lặng, biết rằng quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là 4 km/giờ.
Câu 8
1- Cho đường thẳng (d) : y = ax + b .Tìm a; b để đường thẳng (d) đi qua điểm A( -1 ; 3) và song song với đường thẳng (d’) : y = 5x + 3
2- Cho phương trình ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 ( x là ẩn số ) .Tìm a để phươmg trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn
+ = 4 Câu 9
Cho phương trình (ẩn số x):
. 1. Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm
thỏa .Một ô tô dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được 1 giờ thì ô tô bị chặn bởi xe cứu hỏa 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu của ô tô.
C©u 10
Qu¶ng ®êng AB dµi 156 km. Mét ngêi ®i xe m¸y tö A, mét ngêi ®i xe ®¹p tõ B. Hai xe xuÊt ph¸t cïng mét lóc vµ sau 3 giê gÆp nhau. BiÕt r»ng vËn tèc cña ngêi ®I xe m¸y nhanh h¬n vËn tèc cña ngêi ®I xe ®¹p lµ 28 km/h. TÝnh vËn tèc cña mçi xe?
C©u 11
Chjo ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m-1)x + m2 – 6 =0 ( m lµ tham sè).
- Gi¶I ph¬ng tr×nh khi m = 3
- T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1, x2 tháa m·n
Hai xe khởi hành cùng một lúc đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 100km. Xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 10km/h nên đã đến B sớm hơm 30 phút, Tính vận tốc mỗi xe.
Bài 13
a/ Một xe lửa đi từ ga A đến ga B.Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ ga A đến ga B với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5 km/h.Hai xe lửa gặp nhau tại một ga cách ga B 300 km.Tìm vận tốc của mỗi xe, biết rằng quãng đường sắt từ ga A đến ga B dài 645 km.
Câu 14
Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0
- Giải phương trình khi m = 1
- Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức
Đáp án a) x1 =
; x2 =
- Thấy hệ số của pt : a = 1 ; c = A – 1 pt luôn có 2 nghiệm
Mà A=x12 – x1x2 + x22 = (x1 + x2 )2 – 3x1x2 = 4(m – 3)2 + 3
3 GTNN của A = 3 m = 3Bài 15Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1)
- Giải phương trình (1) với m = 2.
- Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12
- Ta có
vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
Để (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 khi và chỉ khi x1x2 + (x1 + x2) m - 2 m2 – 12 = 0. S khi và chỉ khi : 4m + m.2(m + 1) – 2m2 – 12 = 0 khi và chỉ khi 6m = 12 khi và chỉ khi m= 2
Câu 16
Một thửa đất hình chữ nhật có chu vi bằng 198 m , diện tích bằng 2430 m2 . Tính chiều dài và chiều rộng của thửa đất hình chữ nhật đã cho
Câu 17
- Giải hệ phương trình:
- Cho biểu thức Q =
với x > 0 và x 1.
-
- Rút gọn Q.
- Tính giá trị của Q với x = 7 – 4
.
-
Khoảng cách giữa hai bến sông A và b là 30 km. Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngược dòng từ bến B về bến A. Tổng thời gian ca nô đi xuôi dòng và ngược dòng là 4 giờ . Tìm vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Câu 19 Một người đi xe đạp từ A tới B, quãng đường AB dài 24 km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A tới B.
2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 3 = 0 với m là tham số. Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện
Câu 20
Cho biểu thức
, với a. Rút gọn biểu thức Q
b. Tìm các giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
Câu 21
Cho phương trình
, với x là ẩn số, a. Giải phương trình đã cho khi m = – 2
b. Giả sử phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
và . Tìm hệ thức liên hệ giữa và mà không phụ thuộc vào m.Câu 22
Cho hệ phương trình
, với a. Giải hệ đã cho khi m = –3
b. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó.
| b. Theo Vi-et, ta có    Suy ra   |
| Câu 23 Cho hệ phương trình , với a. Giải hệ đã cho khi m = –3 Ta được hệ phương trình    Vậy hệ phương trình có nghiệm  với  |
b. Điều kiện có nghiệm của phương trình      Vậy phương trình có nghiệm khi  và  Giải hệ phương trình khi     .Vậy hệ có nghiệm (x; y) với  |
Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*)
1. Giải phương trình (*) với a = 1.
2. Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*). Tìm giá trị của a để biểu thức:
N=
có giá trị nhỏ nhất.Câu 25Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Quãng đường sông AB dài 78 km. Một chiếc thuyền máy đi từ A về phía B. Sau đó 1 giờ, một chiếc ca nô đi từ B về phía A. Thuyền và ca nô gặp nhau tại C cách B 36 km. Tính thời gian của thuyền, thời gian của ca nô đã đi từ lúc khởi hành đến khi gặp nhau, biết vận
tốc của ca nô lớn hơn vận tốc của thuyền là 4 km/h.
Bài 26
Quãng đường từ A đến B dài 50km.Một người dự định đi xe đạp từ A đến B với vận tốc không đổi.Khi đi được 2 giờ,người ấy dừng lại 30 phút để nghỉ.Muốn đến B đúng thời gian đã định,người đó phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên quãng đường còn lại.Tính vận tốc ban đầu của người đi xe đạp.
Câu 27
1.Rút gọn biểu thức:
với a>0,a2.Giải hệ pt:
3. Chứng minh rằng pt:
luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.Giả sử x1,x2 là 2 nghiệm của pt đã cho,tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 28
Một ôtô tải đi từ A đến B với vận tốc 40km/h. Sau 2 giờ 30 phút thì một ôtô taxi cũng xuất phát đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và đến B cùng lúc với xe ôtô tải.Tính độ dài quãng đường AB.
Xét Pt:
Vậy pt luôn có nghiệm với mọi m
Theo hệ thức Viet ta có
Theo đề bài
Vậy minB=1 khi và chỉ khi m = -1
Câu 29
Cho biểu thức M = + −
- Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa. Rút gọn biểu thức M.
- Tìm các giá trị của x để M > 1
Một đội thợ mỏ phải khai thác 260 tấn than trong một thời hạn nhất định. Trên thực tế, mỗi ngày đội đều khai thác vượt định mức 3 tấn, do đó họ đã khai thác được 261 tấn than và xong trước thời hạn một ngày.
Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than?
Bài 31
Cho parapol
và đường thẳng (m là tham số).1/ Xác định tất cả các giá trị của m để
song song với đường thẳng .2/ Chứng minh rằng với mọi m,
luôn cắt tại hai điểm phân biệt A và B.3/ Ký hiệu
là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho .Bài 32
1/ Đường thẳng
song song với đường thẳng khi 2/ Phương trình hoành độ giao điểm của
và là là phương trình bậc hai có với mọi m nên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Do đó luôn cắt tại hai điểm phân biệt A và B với mọi m.3/ Ký hiệu
là hoành độ của điểm A và điểm B thì là nghiệm của phương trình . Áp dụng hệ thức Viet ta có: do đó Bài 33
Cho phương trình: mx2 – (4m -2)x + 3m – 2 = 0 (1) ( m là tham số).
1) Giải phương trình (1) khi m = 2.
2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
3) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có các nghiệm là nghiệm nguyên.
Bài 3 4
Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m. Nếu tăng thêm chiều dài 3m và chiều rộng 2m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.
Câu 2:
1.Thay m = 2 vào pt ta có:
Ta thấy: 1 – 3 +2 = 0 nên pt có 2 nghiệm:
2. * Nếu m = 0 thì
. Suy ra: Pt luôn có nghiệm với m=0
*Nếu m
0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. Ta có:
Kết luận: Kết hợp 2 trường hợp ta có: pt luôn có nghiệm với mọi m (đpcm)
3. * Nếu m = 0 thì
nguyên Suy ra: Với m = 0 pt có nghiệm nguyên
* Nếu m # 0 thì ph (1) là pt bậc 2 ẩn x. Từ ý 2 ta có: pt có 2 nghiệm:
Để pt (1) có nghiệm nguyên thì nghiệm
phải nguyên hay m là ước của 2 m = {-2; -1; 1; 2}Kết luận: Với m = {
} thì pt có nghiệm nguyênCâu 35
Cho biểu thức:
với a >0 và .
- Rút gọn biểu thức P.
- Với những giá trị nào của a thì P = 3.
- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng y = ax + b đi qua điểm M(–1 ; 2) và song song với đường thẳng y = 2x + 1. Tìm a và b.
- Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 + 4x – m2 – 5m = 0. Tìm các giá trị của m sao cho: |x1 – x2| = 4.
Theo định lí Vi-et, ta có:  và  |
Ta có:   m = 0 hoặc m = – 5 |
| Kết hợp với đk(*), ta có m = 0 , m = – 5 là các giá trị cần tìm. |
1/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
2/ Tìm m để
đạt giá trị nhỏ nhất (x1; x2 là hai nghiệm của phương trình)Bài 38 Cho phương trình x2 – 2mx – 2m – 5 = 0 (m là tham số)
1/ Ta có
’ = (-m)2 – 1 (-2m – 5)= m2 + 2m + 5
= (m + 1)2 + 4
Vì (m + 1)2
0 với mọi m
- (m + 1)2 + 4 > 0 với mọi m
’ > 0 với mọi m Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
2/ Vì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
(theo định lý Vi-et)
- A2 = ()2 = x12 – 2x1x2 + x22 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
- A2 = (2m)2 – 4(-2m – 5) = (2m)2 + 8m + 20
16
- Giá trị nhỏ nhất của A2 = 16
- Giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi 2m + 2 = 0 ó m = -1
đạt giá trị nhỏ nhất là 4Bài 39
Cho phương trình: x2 – 2(m + 4 )x + m2 – 8 = 0 (1) , với m là tham số.
- Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phận biệt là x1 và x2 .
- Tìm m để x1 + x2 – 3x1x2 có giá trị lớn nhất.
1)  |
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  |
 |
| 2) Có : x1 + x2 – 3x1.x2 = -3m + 2m + 32 |
 |
Dấu “ =” xảy ra  Vậy  thì x1 + x2 – 3x1x2 đạt GTLN |
Bài 40
Trong đợt quyên góp ủng hộ người nghèo, lớp 9A và 9B có 79 học sinh quyên góp được 975000 đồng. Mỗi học sinh lớp 9A đóng góp 10000 đồng, mỗi học sinh lớp 9B đóng góp 15000 đồng. Tính số học sinh mỗi lớp.
Bài 41
Cho phương trình:
(*)1/ Chứng minh rằng với m < 0 phương trình (*) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt
.2/ Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
thỏa hệ thức 1/ Phương trình:
(*)Ta có:
= [-(m + 2)]2 – (m2 + 5m + 4) = m2 + 4m + 4 – m2 – 5m – 4 = -mVới m < 0
= -m > 0 Phương trình (*) luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt 2/ Theo định lí Viét ta có:
(I)Theo đề ta có:
(1)Thay (I) vào (1) ta có:
(Đk: m ≠ -1 và m ≠ -4)2(m + 2) – (m2 + 5m + 4) = 0 2m + 4 – m2 – 5m – 4 = 0 m2 + 3m = 0 m(m + 3) = 0 Vậy với m = -3 thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
thỏa hệ thức: C©u 42 Cho biÓu thøc::
víi ,a)Rót gän biÓu thøc P
b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x=
C©u 43 Cho ba ®êng th¼ng(d1): y= 2x+1; (d2): y=3; (d3): y=kx+5 .
a) X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng d1 vµ d2.
b) T×m k ®Ó ba ®êng th¼ng trªn ®ång quy.
C©u 44 Cho ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x: x2-2(m-1)x+2m-4=0 (m lµ tham sè) (1)
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) khi m = 3
b)Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt víi mäi m.
c) Gäi x1,x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc
A = x12+x22
Câu 45Cho phương trình
.a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Gọi
, là hai nghiệm của phương trình đã cho, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .Câu 46: (1 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 4..a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
.Phương trình có nghiệm
.b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.Điều kiện
.Theo Vi-ét ta có :
; .. khi (loại vì không thỏa điều kiện ).Mặt khác :
(vì ) . khi .Kết luận : Khi
thì A đạt giá trị nhỏ nhất và .2. Cho biểu thức P =
Tìm x để biểu thức P có nghĩa; Rút gọn P . Tìm x để P là một số nguyên
Câu 47
- Vẽ đồ thị hàm số : y = 2x2
- Cho phương trình bậc hai tham số m : x2 -2 (m-1) x - 3 = 0
- Giải phương trình khi m= 2
- Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi giá trị của m. Tìm m thỏa mãn
=> Pt luôn có 2 nghiệm phân biệtTheo Vi ét có :
Theo đề bài :
=>
=>=>
=>=>
=> =>
=>Vậy m = 1 là giá trị cần tìm
Câu 48 (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
.a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Tính giá trị của A khi
.Bài 49
Hai đội công nhân cùng làm một công việc. Nếu hai đội làm chung thì hoàn thành sau 12 ngày. Nếu mỗi đội làm riêng thì dội một sẽ hoàn thành công việc nhanh hơn đội hai là 7 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đó?
Bài 50 Cho phương trình
(m là tham số)
- Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
- Gọi hai nghiệm của phương trình là
. Xác định m để giá trị của biểu thức 
nhỏ nhất
Cho phương trình x2 – 2 (m+1) x + m2 + 3 = 0
- Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỏa tích hai nghiệm không lớn hơn tổng hai nghiệm.