CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I. Lý thuyết
*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số thực)
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
 TQ: Nếu
        Nếu
        Nếu x-a ³ 0=> = x-a
        Nếu x-a £  0=> = a-x
*Tính chất
 Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
 TQ:  với mọi a Î R
Cụ thể:
  =0 <=> a=0
  ≠ 0 <=> a ≠ 0
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
 TQ:
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.
 TQ:   và
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
TQ:   Nếu
*  Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
 TQ: Nếu
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
 TQ:
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
 TQ:
* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
TQ:  
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
TQ:    và
II. Các dạng toán :
I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1:  ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
* Cách giải:
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm )
- Nếu k = 0 thì ta có
- Nếu k > 0 thì ta có:
Bài 1.1: Tìm x, biết:
a)           b)              c)       d)
Bài 1.2: Tìm x, biết:
a)         b)        c)         
Bài 1.3: Tìm x, biết:
a)      b)             c)            d)
Bài 1.4: Tìm x, biết:
a)    b)                    c)    d)
Bài 1.5: Tìm x, biết:
a)           b)     c)    d)
2. Dạng 2:  ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
Vận dụng tính chất:  ta có:
Bài 2.1: Tìm x, biết:
a)      b)         c)     d)
Bài 2.2: Tìm x, biết:
a)   b) c) d)
3. Dạng 3:     ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách  1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào  của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
  (1)
Điều kiện: B(x)  (*)
(1) Trở thành    ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu
Nếu
Ta giải như sau:     (1)

• Nếu A(x)  thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )
• Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )

Bài 3.1: Tìm x, biết:
a)         b)       c)          d)
Bài 3.2: Tìm x, biết:
a)           b)         c)       d)
Bài 3.3: Tìm x, biết:
a)       b)       c)      d)
Bài 3.4: Tìm x, biết:
a)       b)       c)      d)
Bài 3.5: Tìm x, biết:
a)        b)        c)     d)
4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Bài 4.1: Tìm x, biết:
a)         b)
c)                              d)
Bài 4.2: Tìm x, biết:
a)                                    
c)                             d)     
e)                 f)
Bài 4.3: Tìm x, biết:
a)               b)        
c)                d)              
e)                            f)    
Bài 4.4: Tìm x, biết:
a)                                b)
c)                             d)
5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
  (1)
Điều kiện: D(x)  kéo theo
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a)                    b)
c)         d)
Bài 5.2: Tìm x, biết:
a)
b)
c)
d)
6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:
Bài 6.1: Tìm x, biết:
a)            b)              c)
Bài 6.2: Tìm x, biết:
a)              b)                       c)
Bài 6.3: Tìm x, biết:
a)            b)            c)
Bài 6.4: Tìm x, biết:
a)      b)                           c)
7. Dạng 7: 
 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung:  
B1: đánh giá:
B2: Khẳng định:
Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:
a)         b)                   c)
Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:
a)       b)            c)
* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng  nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải:  (1)
   (2)
Từ (1) và (2)
Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:
a)          b)        c)
Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:
a)       b)       c)
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.
Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a)                            b)                                      
c)                      d)
Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :
a)                        b)
c)                     d)
Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn:
a)                              b)
c)           d)
8. Dạng 8:  
* Cách giải: Sử dụng tính chất:
          Từ đó ta có:
Bài 8.1: Tìm x, biết:
a)                    b)          c)
d)       e)      f)
Bài 8.2: Tìm x, biết:
a)              b)                                c)
d)   e)              f)
Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :
a)
Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:
a)
Bài 4: Tìm x thoả mãn:
a)        
II Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1:  với
* Cách giải:
* Nếu m = 0 thì ta có
* Nếu m > 0 ta giải như sau:
 (1)
Do  nên từ (1) ta có:  từ đó tìm giá trị của  và  tương ứng .
Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a)   b)       c)
Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a)         b)     c)
Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a)            b) c)      d)
Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)      b)     c)          d)
Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)         b)        c)                    d)
2. Dạng 2:    với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá
  (1)
 (2)
Từ (1) và (2)  từ đó giải bài toán  như dạng 1 với
Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) b)         c) d)
Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y )  thoả mãn:
a)           b)   c)   d)
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức:  xét khoảng giá trị của ẩn số.
Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a)   b)   c)   d)
Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và                         b) x +y = 4 và
c) x –y = 3 và                      d) x – 2y = 5 và
Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và           b) x – y = 3 và
c) x – y = 2 và                   d) 2x + y = 3 và
4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:
* Cách giải :
Đánh giá:  tìm được giá trị của x.
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a)    b)          c) d)
Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)        b)   c)
Bài 4.3:  Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)       b)    c)
5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá:     (1)
Đánh giá:     (2)
Từ (1) và (2) ta có:
Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)                             b)
c)                                d)
Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)                       b)
c)                          d)
Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a)                       b)
c)                         d)
III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

• Cách giải chung:  Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với
a)        b)
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a)        b)
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a)       b)          c)
Bài 4: Rút gọn biểu thức khi
a)      b)
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a)  với x < - 0,8        b)  với
c)  với         d)  với x > 0
==============&=&=&==============
IV.Tính giá trị biểu thức:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a) M = a + 2ab – b với        b) N =  với
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
a)  với    b)  với
c)  với           d)    với
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:
a)  với      b)  với
c)  với x = 4   d)   với
V.Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:
* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:
Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các  biểu thức:
a)             b)    c)                    d)
e)            f)                   g)
h)           i)                      k)
l)                 m)                        n)
Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)             b)                      c)
d)         e)        f)
g)            h)                         i)
k)              l)                         m)
Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a)         b)    c)
d)                      e)
Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a)            b)             c)
Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)       b)       c)
Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)                    b)             c)
2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:
Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)            b)          c)
d)         e)          f)
Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)          b)                    c)
Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a)                    b)       c)
Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a)       b)        c)
Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)            b)       c)
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức
Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)            b)        c)
Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)       b)    c)
Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a)                   b)
c)                  d)
Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:

Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: