Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Thứ năm - 29/07/2021 10:40
- In ra
- Đóng cửa sổ này
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Gãc néi tiÕp.
1. Cho ®êng trßn (o) hai d©y AB vµ CD c¾t nhau ë I. Chøng minh r»ng IA.IB = IC.ID ( Trêng hîp I n»m bªn trong ®êng trßn )
2. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O ; R), ®êng cao AH (H thuéc BC) tia AO c¾t ®êng trßn ë D. Chøng minh:
a) Tam gi¸c ABH ®ång d¹ng Tam gi¸c ADC
b) R = AB.AC/2AH
3. Cho tam gi¸c ABC (AB<AC) néi tiÕp ®êng trßn (O), ®êng cao AH (H thuéc BC), AH c¾t ®êng trßn ë D, AO c¾t ®êng trßn ë E.
a) so s¸nh hai gãc BAH vµ OAC
b) Tø gi¸c BCED lµ h×nh g×? v× sao?
4. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) cã trùc t©m H n»m trong tam gi¸c, tia AO c¾t ®êng trßn ë D.
a) Tø gi¸c BHCD lµ h×nh g× ? v× sao ?
b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh ba ®iÓm H, I, D th¶ng hµng
c) Chøng minh OI = 1/2 AH
Gãc néi tiÕp
5. Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, néi tiÕp ®êng trßn (O). Gäi M lµ mét ®iÓm trªn cung BC, tia AM c¾t c¹nh BC ë D, Chøng minh:
a) MA lµ tia ph©n gi¸c cña BMC.
b) TÝch AM.AD kh«ng ®æi khi M di chuyÓn trªn cung BC.
6. Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Trªn nöa ®êng trßn lÊy hai ®iÓm M vµ N sao cho cung AM = cung MN = cung NB. Gäi giao ®iÓm cña AM víi BN lµ P, cña AN víi BM lµ H. Chøng minh:
a) PH vu«ng gãc víi AB
b) Tø gi¸c AMNB lµ h×nh thang c©n.
7. Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O). Gäi M lµ 1 ®iÓm trªn cung nhá BC. Trªn tia MA lÊy ®iÓm D sao cho MD = MB.
a) MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BMC
b) Tam gi¸c BMD lµ tam gi¸c gØ/ v× sao ?
c) So s¸nh hai tam gi¸c ADB vµ tam gi¸c CMB.
d) Chøng minh r»ng MA = MB + MC
8. Tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O ; R). Gäi AH lµ ®êng cao cña tam gi¸c. §Æt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h. Chøng minh:
a) bc = 2R.h
b) diÖn tÝch tam gi¸c ABC = abc/4R.
Gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y
1. Cho ®êng trßn (O) vµ ®iÓm M n»m bªn ngoµi ®êng trßn.Qua ®iÓm M kÎ tiÕp tuyÕn MT víi ®êng trßn ( T lµ tiÕp ®iÓm ) vµ c¸t tuyÕn MBA(A n»m gi÷a M vµ B).
a) so s¸nh hai gãc ATM vµ Gãc ABT.
b) Chøng minh MT2 = MA.MB.
2. Cho hai ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (O”) tiÕp xóc ngoµi t¹i ®iÓm A. Qua A kÎ mét c¸t tuyÕn c¾t ®êng trßn (O) ë B, c¾t ®êng trßn (O”) ë C. Goi BD vµ CE lµ d©y cung cña ®êng trßn (O) vµ (O”). BiÕt BD song song CE.
a) So s¸nh c¸c cung nhá AD vµ cung AE cña ®êng trßn (O) vµ (O”)
b) KÎ tiÕp tuyÕn chung trong xAy cña hai ®êng trßn t¹i A ( tia Ax thuéc nöa mÆt ph¼ng bê OO” chøa ®iÓm D). So s¸nh c¸c gãc Dax vµ gãc Eay tõ ®ã chøng minh ba ®iÓm A, E, D th¼ng hµng.
3. Cho ®êng trßn (O), d©y cung MN, tiÕp tuyÕn Mx. Trªn tia Mx lÊy ®iÓm T sao cho MT = MN. §êng th¼ng TN c¾t ®êng trßn ë S.
Chøng minh: a) Gãc SMT = gãc T
b) SM = ST
4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn ở D. Kẻ AH vuông góc CD. Chứng minh:
a) AH là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) góc ACD = góc DAH
c) AH2 = HC.HD
5. Cho hai đường tròn (O) và (O”) tiếp xúc ngoài tại . một cát tuyến kẻ qua A cắt đường tròn (O) ở B, cắt đường tròn (O”) ở C. kẻ các đường kính BD và CE của hai đường tròn (O) và (O”).
a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b)BD song song CE.
c) nếu đường tròn (O) = đường tròn (O”)thì tứ giác BDCE là hình gì ? vì sao ?
6. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB vả một điểm C trên nửa đường tròn. Qua điểm D trên đoạn AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt BC ở F. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt đường vuông góc ở D tại I. Gọi E là giao điểm của AC và DF
a) so sánh góc IEC với góc ICE và góc ABC ;
b) Chứng minh tam giác EIC là tam giác cân ;
c) Chứng minh IE=IC=IF
Gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y
1. Cho ®êng trßn (O) vµ ®iÓm M n»m bªn ngoµi ®êng trßn.Qua ®iÓm M kÎ tiÕp tuyÕn MT víi ®êng trßn ( T lµ tiÕp ®iÓm ) vµ c¸t tuyÕn MBA(A n»m gi÷a M vµ B).
a) so s¸nh hai gãc ATM vµ Gãc ABT.
b) Chøng minh MT2 = MA.MB.
2. Cho hai ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (O”) tiÕp xóc ngoµi t¹i ®iÓm A. Qua A kÎ mét c¸t tuyÕn c¾t ®êng trßn (O) ë B, c¾t ®êng trßn (O”) ë C. Goi BD vµ CE lµ d©y cung cña ®êng trßn (O) vµ (O”). BiÕt BD song song CE.
a) So s¸nh c¸c cung nhá AD vµ cung AE cña ®êng trßn (O) vµ (O”)
b) KÎ tiÕp tuyÕn chung trong xAy cña hai ®êng trßn t¹i A ( tia Ax thuéc nöa mÆt ph¼ng bê OO” chøa ®iÓm D). So s¸nh c¸c gãc Dax vµ gãc Eay tõ ®ã chøng minh ba ®iÓm A, E, D th¼ng hµng.
3. Cho ®êng trßn (O), d©y cung MN, tiÕp tuyÕn Mx. Trªn tia Mx lÊy ®iÓm T sao cho MT = MN. §êng th¼ng TN c¾t ®êng trßn ë S.
Chøng minh: a) Gãc SMT = gãc T
b) SM = ST
Bài tập tự luyện Khiêm khù
Bµi 1 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
a/
b/ 
Bµi 2 : Trong th¸ng ®Çu, hai tæ c«ng ng©n s¶n suÊt ®îc 300 s¶n phÈm. Sang th¸ng thø hai, tæ I s¶n xuÊt vît møc 15%, tæ II s¶n xuÊt vît møc 20%, do ®ã cuèi th¸ng c¶ hai tæ s¶n xuÊt ®îc 352 s¶n phÈm. Hái r»ng trong th¸ng ®Çu, mçi tæ c«ng nh©n s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu s¶n phÈm
Bài 3.Giải các hệ phương trình sau:
a/
b/ 
Bài 4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Một trạm bơm cho chạy 6 máy bơm lớn và 5 máy bơm nhỏ tiêu thụ hết 670 lít xăng. Biết rằng mỗi máy bơm lớn tiêu thụ nhiều hơn mỗi máy bơm nhỏ 20 lít. Tính số xăng mỗi loại máy bơm đã tiêu thụ.
Bài 5.Gi¶i c¸c HPT: a)
b) 
Bài 6 . T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt ch÷ sè hµng chôc h¬n ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 2 nÕu viÕt thªm 1 ch÷ sè n÷a b»ng ch÷ sè hµng chôc vµo bªn ph¶i th× ®îc sè míi lín h¬n sè ban ®Çu lµ 682.
Bài 7 .Hai ngêi lµm chung mét CV th× mÊt 20 ngµy. Sau khi lµm chung ®îc 12 ngµy th× ngêi A nghØ. Ngêi B lµm mét m×nh tiÕp 12 ngµy n÷a th× A quay vÒ lµm cho B nghØ. Ngêi A ph¶i lµm tiÕp rong 6 ngµy n÷a míi xong. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi ngêi ph¶i mÊt bao nhiªu ngµy?
Bài 8.Giải các hệ phương trình sau:
a)
Bài 9. Cho hệ phương trình:
a) Với giá trị nào của n thì hệ phương trình có nghiệm là (x ; y) = (2 ; -1).
b) Với giá trị nào của n thì hệ phương trình có duy nhất nghiệm? Hệ phương trình vô nghiệm ?
Bài 10. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm trong 4h người thứ hai làm trong 3h thì đựơc 50% công việc. Hỏi mỗi người làm 1 mình trong mấy giờ thì xong công việc?
ĐỀ KIỂM TRA
Câu I : Cho phương trình : 2x + y = 5 (1)
1. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1)
2. Xác định a để cặp số (–1 ; a) là nghiệm của phương trình (1).
Câu II :
Cho hệ phương trình : (I)
.
Không giải hệ phương trình, hãy xác định số nghiệm của hệ (I) dựa vào vị trí tương đối của 2 đường thẳng (d1) và (d2).
C©u III Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Chửng tỏ rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào a
Câu IV : Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình :
Số học sinh giỏi và khá học kì I của một trường THCS Trần Quốc Toản là 272 em, mỗi học sinh giỏi được thưởng 8 quyển vở, mỗi học sinh khá được thưởng 5 quyển vở. Tổng số vở phát thưởng là 1675 quyển. Tính số học sinh giỏi và học sinh kha của trường.
Câu IV : Cho hệ phương trình:
Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 11 Cho hệ phương trình : (I)
.
Không giải hệ phương trình, hãy xác định số nghiệm của hệ (I) dựa vào vị trí tương đối của 2 đường thẳng (d1) và (d2).
Bài 5: Cho biểu thức
a) Tìm đk xác định b) Rút gọn biểu thức B
Bài 13 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình :
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 46 mét, nếu tăng chiều dài 5 mét và giảm chiều rộng 3 mét thì chiều dài gấp 4 lần chiều rộng . Hỏi kích thước khu vườn đó là bao nhiêu ?
Bài 14. Giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:
1. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O), cã gãc B = 460 , gãc C = 720
a) TÝnh gãc A cña tam gi¸c ABC.
b) Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t ®êng trßn ë M, tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t ®êng trßn ë N. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AM vµ BN. TÝnh c¸c gãc BIM vµ gãc MBI
c) chøng minh MB=MC=MI
2. Cho tam gi¸c ABC c©n ë A néi tiÕp ®êng trßn (O). Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t ®êng trßn ë D, tia ph©n gi¸c cña gãc C c¾t ®êng trßn ë F. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BD vµ CF.
Tø gi¸c ADEF lµ h×nh g×? V× sao?
3. Cho ®êng trßn (O), hai d©y cung AB vµ AC. Gäi I vµ J theo thø tù lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB vµ cung AC. §êng th¼ng IJ c¾t AB vµ AC lÇn lît ë K vµ H. Chøng minh AK = AH.
4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Gọi C là một điểm nửa đường tròn. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đường tròn ở E, AE và BC cắt nhau ở K.
1. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O), cã gãc B = 460 , gãc C = 720
a) TÝnh gãc A cña tam gi¸c ABC.
b) Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t ®êng trßn ë M, tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t ®êng trßn ë N. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AM vµ BN. TÝnh c¸c gãc BIM vµ gãc MBI
c) chøng minh MB=MC=MI
2. Cho tam gi¸c ABC c©n ë A néi tiÕp ®êng trßn (O). Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t ®êng trßn ë D, tia ph©n gi¸c cña gãc C c¾t ®êng trßn ë F. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BD vµ CF.
Tø gi¸c ADEF lµ h×nh g×? V× sao?
3. Cho ®êng trßn (O), hai d©y cung AB vµ AC. Gäi I vµ J theo thø tù lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB vµ cung AC. §êng th¼ng IJ c¾t AB vµ AC lÇn lît ë K vµ H. Chøng minh AK = AH.
4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Gọi C là một điểm nửa đường tròn. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đường tròn ở E, AE và BC cắt nhau ở K.
1.Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Từ M kẻ tiếp tuyến MA( A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC tới đường tròn. Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Chứng minh:
a) MA = MD b) AD.AE = AC. AB
2. Cho đường tròn (O) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SA’ (A và A’ là tiếp điểm) và cát tuyến SBC tới đường tròn. Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Gọi H là giao điểm của OS và AA’. Gọi G là giao điểm của OE và BS còn F là giao điểm của AA’ với BC. Chứng minh :
a) Tam giác SAD là tam giác cân
b) SF.SG=SO.SH ;
c) SA2 = SF.SG.
3. Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến ABC và AMN. Hai đường thẳng BN và AM cắt nhau ở S. Chứng minh :
a) góc A + góc BSM = góc 2CBN
b) AM.AN = AB.AC
4. Cho đường tròn (O) , dây BC. Gọi A là một điểm trên cung lớn BC sao cho cung AB< cung AC, D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau ở E. Gọi P là giao điểm cảu AB và CD, Q là giao điểm của AD và CE. Chứng minh:
a) DE song song BC
b) góc APC = góc AQC
1.Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Từ M kẻ tiếp tuyến MA( A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC tới đường tròn. Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Chứng minh:
a) MA = MD b) AD.AE = AC. AB
2. Cho đường tròn (O) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SA’ (A và A’ là tiếp điểm) và cát tuyến SBC tới đường tròn. Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Gọi H là giao điểm của OS và AA’. Gọi G là giao điểm của OE và BS còn F là giao điểm của AA’ với BC. Chứng minh :
a) Tam giác SAD là tam giác cân b) SF.SG=SO.SH ; c) SA2 = SF.SG.
3. Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến ABC và AMN. Hai đường thẳng BN và AM cắt nhau ở S. Chứng minh :
a) góc A + góc BSM = góc 2CBN b) AM.AN = AB.AC
4. Cho đường tròn (O) , dây BC. Gọi A là một điểm trên cung lớn BC sao cho cung AB< cung AC, D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau ở E. Gọi P là giao điểm cảu AB và CD, Q là giao điểm của AD và CE. Chứng minh:
a) DE song song BC b) góc APC = góc AQC
1. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Phân giác của góc C và góc B cắt đường tròn lần lượt ở D và F. Gọi E là giao điểm của CD và BF. Chứng minh tứ giác ADEF là hình thoi.
2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm M và N sao cho cung AM =cung MN = cung NB. Gọi P là giao điểm của AM và BN. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại B và M cắt nhau ở Q. Chứng minh:
a) góc APB = góc MQB
b) MN là phân giác của góc BMQ.
3. Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD ( C nằm giữa A và D). Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở M, cắt BD ở N. Vẽ dây BF vuông góc với MN tại H, cắt CD tại E. Chứng minh:
a) tam giác BMN là tam giác cân;
b) FD2 = FE . FB.
4. cho đường tròn (O ; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đường kính AB lấy điểm E sao cho AE = R
. Qua E vẽ dây CF. Tiếp tuyến của đường tròn tại F cắt đường thẳng CD tại M, AF cắt CD tại N. Chứng minh:
a) MF song song AC
b) CF là phân giác của góc BCD.
5. cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I. Cắt đường tròn lần lượt ở D và E. Gọi F là giao điểm của AC và DE.
a) tam giác BID là tam giác gì? Vì sao?
b) chứng minh DE là trung trực của IC
c) chứng minh IF song song BC
6. cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tai K. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AD ( A thuộc (O), D thuộc (O’) ). Vẽ đường kính AOB, rồi vẽ qua B tiếp tuyến BM với đường tròn (O’). Chứng minh:
a) ba điểm B, K, D thẳng hàng;
b) AB2 = BK . BD;
c) BM = AB.
7. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, dây AC, tiếp tuyến Ax. Phân giác của góc CAx cắt BC ở D, cắt nửa đường tròn ở E. Gọi H là giao điểm của AC và BE. Chứng minh:
a) OE vuông góc với AC;
b) E là trung điểm của AD;
c) DH vuông góc với AB.
8. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt ở B và C. Gọi M là một điểm trên cung lớn BC, qua M kẻ MD, ME, MF theo thứ tự vuông góc với BC, CA và AB. Chứng minh: a)
FMB đồng dạng DMC và EMC đ dạng MDB
b) MD2 = ME . MF
Tứ giác nội tiếp
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm trên AC, đtròn đường kính CM cắt BC tại E, BM cắt đròn tại D
a) CMR: tứ giác BADC nội tiếp
b) DB là phân giác của góc EDA
c) CMR 3 đường thẳng BA, EM, CD đồng quy
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại E, cắt AC tại F. Các tia BF cà CE cắt nhau tại H. CMR:
a) AH vuông góc với BC
b) Gọi K là giao điểm của AH và BC. CMR: FB là phân giác của góc EFK
c) Gọi M là trung điểm của BH. CMR: tứ giác EMKF nt
Bài 3: Cho đtròn (O), điểm A nằm bên ngoài đtròn. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đtròn (B, C là các tiếp điểm). M là một điểm trên dây BC, đthẳng qua M vuông góc với OM cắt tia AB và AC lần lượt tại D và E. CMR:
a) Các tứ giác: BDOM; ECOM nt
b) M là trung điểm của DE
Bài 4: Cho đtròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AB). Qua B kẻ cát tuyến vuông góc với AB cắt đtròn (O) ở C, căt đtròn (O’) ở D, tia CA cắt (O’) ở I, tia DA cắt (O) ở K.
a) CMR: tứ giác CKID nt
b) Gọi M là giao điểm của CK và DI. Chứng minh 3 điểm M, A, B thẳng hàng
Bài 5: Cho đtròn (O) đường kính AB, M là 1 điểm trên đtròn; C là 1 điểm nằm giữa A và B. qua M kẻ đthẳng vuông góc với CM, đthẳng này cắt các tiếp tuyến của (O) kẻ từ A và B lần lượt tại E và F. CMR:
a) Các tứ giác: AEMC, BCMF nt
b) Tam giác ECF vuông tại C
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nt đtròn (O), có 2 đường cao BB’ và CC
a) CMR: tứ giác BCB’C’ nt
b) Tia AO cắt đtròn (O) ở D và cắt B’C’ ở I. CMR: tứ giác BDIC’ nt
c) Chứng minh OA vuông góc với B’C’
Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên 2 cạnh BC và CD sao cho
. AM và AN cắt đường chéo BD tại P và Q. Gọi H là giao điểm của MQ và NP. CMR:
a) Tứ giác ABMQ nt
b) Tam giác AQM vuông cân
c) AH vuông góc với MN
Bài 8. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC = BE.ED. chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp được đường tròn.
Bài 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi I là giao điểm các phân giác trong của góc B góc và góc C, còn E là giao điểm các phân giác ngoài của góc B và góc C, M là giao điểm của AE với đường tròn (O). chứng minh:
a) tứ giác BICE nội tiếp
b) M là trung điểm của IE.
Bài 10. cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Hai tiếp tuyến Ax và By. Gọi C là một điểm nằm giưa A và B, M là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM cắt Ax ở D, cắt By ở E.
a) Chứng minh tứ giác ACMD và tứ giác BCME là các tứ giác nội tiếp.
b) So sánh các góc MDC với góc MAB và góc MEC với góc MBA
c) chứng minh tam giác CDE là tam giác vuông.
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB’ và CC’. Tia AO cắt đường tròn ở D và cát B’C’ ở I. Chứng minh:
a)Tứ giác BCB’C’ là tứ giác nội tiếp
b) tam giác AB’C’ đồng dạng tam giác ABC c) Tứ giác B’IDC là tứ giác nội tiếp.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên 2 cạnh BC và CD sao cho. AM và AN cắt đường chéo BD tại P và Q. Gọi H là giao điểm của MQ và NP. CMR:
a) Tứ giác ABMQ nt b) Tam giác AQM vuông cân
c) AH vuông góc với MN
Bài 8. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC = BE.ED. chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp được đường tròn.
Bài 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi I là giao điểm các phân giác trong của góc B góc và góc C, còn E là giao điểm các phân giác ngoài của góc B và góc C, M là giao điểm của AE với đường tròn (O). chứng minh:
a) tứ giác BICE nội tiếp
b) M là trung điểm của IE.
Bài 10. cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Hai tiếp tuyến Ax và By. Gọi C là một điểm nằm giưa A và B, M là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM cắt Ax ở D, cắt By ở E.
a) Chứng minh tứ giác ACMD và tứ giác BCME là các tứ giác nội tiếp.
b) So sánh các góc MDC với góc MAB và góc MEC với góc MBA
c) chứng minh tam giác CDE là tam giác vuông.
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB’ và CC’. Tia AO cắt đường tròn ở D và cát B’C’ ở I. Chứng minh:
a)Tứ giác BCB’C’ là tứ giác nội tiếp
b) tam giác AB’C’ đồng dạng tam giác ABC
Bài 4: Cho đtròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AB). Qua B kẻ cát tuyến vuông góc với AB cắt đtròn (O) ở C, căt đtròn (O’) ở D, tia CA cắt (O’) ở I, tia DA cắt (O) ở K.
a) CMR: tứ giác CKID nt
b) Gọi M là giao điểm của CK và DI. Chứng minh 3 điểm M, A, B thẳng hàng
Bài 5: Cho đtròn (O) đường kính AB, M là 1 điểm trên đtròn; C là 1 điểm nằm giữa A và B. qua M kẻ đthẳng vuông góc với CM, đthẳng này cắt các tiếp tuyến của (O) kẻ từ A và B lần lượt tại E và F. CMR:
a) Các tứ giác: AEMC, BCMF nt
b) Tam giác ECF vuông tại C
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nt đtròn (O), có 2 đường cao BB’ và CC
a) CMR: tứ giác BCB’C’ nt
b) Tia AO cắt đtròn (O) ở D và cắt B’C’ ở I. CMR: tứ giác BDIC’ nt
c) Chứng minh OA vuông góc với B’C’
12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, BC lần lượt ở D và E. Qua C kẻ CF vuông góc với OA. Chứng minh.
a) tam giác ACF vuông cân
b) Tứ giác BDOE và COEF nội tiếp
13. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm thuộc cung AC. Kẻ MD; ME; MF lần lượt vuông góc với BC, BA và AC. Chứng minh
a) Tứ giác AEMF và DCMF là các tứ giác nội tiếp
b) ba điểm E;D;F thẳng hàng.
14. Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm I trên cạnh AC. Vẽ đường tròn đường kính IC cắt BC ở E, cắt BI ở D ( D khác I). Chứng minh:
a) tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
c) Ba đường thẳng AB, CD, EI đồng quy.
15. Cho tam gi¸c nhän ABC, trùc t©m H néi tiÕp ®êng trßn (O).
a) AH c¾t ®êng trßn (O)t¹i E, chøng minh E ®èi xøng víi H qua AB;
b) Gäi D lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC, chøng minh D thuéc ®êng trßn (O).
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB’ và CC’. Tia AO cắt đường tròn ở D và cát B’C’ ở I. Chứng minh:
a)Tứ giác BCB’C’ là tứ giác nội tiếp
b) tam giác AB’C’ đồng dạng tam giác ABC
12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, BC lần lượt ở D và E. Qua C kẻ CF vuông góc với OA. Chứng minh.
a) tam giác ACF vuông cân
b) Tứ giác BDOE và COEF nội tiếp
13. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm thuộc cung AC. Kẻ MD; ME; MF lần lượt vuông góc với BC, BA và AC. Chứng minh
a) Tứ giác AEMF và DCMF là các tứ giác nội tiếp
b) ba điểm E;D;F thẳng hàng.
14. Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm I trên cạnh AC. Vẽ đường tròn đường kính IC cắt BC ở E, cắt BI ở D ( D khác I). Chứng minh:
a) tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
c) Ba đường thẳng AB, CD, EI đồng quy.
15. Cho tam gi¸c nhän ABC, trùc t©m H néi tiÕp ®êng trßn (O).
a) AH c¾t ®êng trßn (O)t¹i E, chøng minh E ®èi xøng víi H qua AB;
b) Gäi D lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC, chøng minh D thuéc ®êng trßn (O).
16.Cho tam gi¸c c©n ABC c©n t¹i A, gãc A = 200. trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng ch÷a ®iÓm C lÊy ®iÓm D sao cho DA = DB vµ gãc DAB = 400. gäi E lµ giao ®iÓm cña AB vµ CD
a) chøng minh ACBD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
b) TÝnh gãc AED.
17. Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A néi tiÕp ®êng (O). §iÓm E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC ( E kh¸c B vµ C). Nèi AE c¾t ®êng trßn (O) t¹i D ( D kh¸c A). H¹ CH vu«ng gãc víi AD t¹i H. Nèi BD c¾t CH t¹i M. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh:
a) Bèn ®iÓm A, I, H, C thuéc mét ®êng trßn.
b) TÝch AE.AD kh«ng ®æi;
c) §iÓm M thuéc mét ®êng trßn cè ®Þnh
18* Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. §iÓm D thuéc ®o¹n AB. vÏ ®êng trßn (O) ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. c¸c ®êng th¼ng CD, AE c¾t ®êng trßn (O) lÇn lît t¹i F vµ K.
Ôn tập
1. Cho nửa đường tròn (O) và một điểm C trên nửa đường tròn đó. Gọi D là một điểm trên đường kính AB, qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AC , BC lần lượt ở E và F. tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt EF tại I. chứng minh:
a) Tứ giác BDEC và ADCF là tứ giác nội tiếp.
b) I là trung điểm của EF
c) AE.EC = DE.DF
2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn. Tia BM cắt tiếp tuyến của nửa đường tròn kẻ từ A tại I, phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt BM tại F, tia BE cắt AI tại H, cắt AM tại K. chứng minh:
a) IA2 = IM.IB
b) tam giác ABF là tam giác cân
c) tứ giác AKFH là hình thoi
3.Cho đường tron (O) và đường thẳng d bên ngoài đường tròn, từ O kẻ OH vuông góc với d, qua H kẻ một đường thẳng cắt đường tròn (O) tại A và B. tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt d lần lượt ở D và E. chứng minh:
a) tứ giác HOBE và HDOA nội tiếp
b) so sánh các góc ADO; AHO và BOE
c) H là trung điểm của DE.
4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C cố định trên nửa đường tròn. Điểm M thuộc cung AC ( M khác A;C). hạ MH vuông góc AB tại H. Nối MB cắt CA tại E. hạ EI vuông góc AB tại I. Gọi K là giao điểm của AC và MH. Chứng minh:
a) BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp
b) AK.AC = AM2.
c) AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vào vị trí điểm M
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đtròn (O), đường cao AH cắt đtròn ở D. Kẻ đường kính AE. CMR:
a) BC song song với DE
b) Tứ giác BCED là hình thang cân
Bài 6. Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C là điểm chính giữa cung AB, M là một điểm thay đổi trên cung CB. Qua C kẻ CN vuông góc AM.
OB = 6cm, trên cạnh Oy lấy hai điểm C và D sao cho OC = 1,5 cm, OD = 8cm. Chứng minh:
10. Trªn ®êng trßn (O) lÊy hai ®iÓm B vµ D. Gäi A lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung lín BD. C¸c tia AD, AB c¾t tiÕp tuyÕn Bx vµ Dy cña ®êng trßn lÇn lît ë N vµ M. Chøng minh ;
a) tø gi¸c BDNM néi tiÕp
b) MN song song BD
c) MA.MB = MD2
11. cho tam gi¸c nhon ABC, ®êng cao AH. Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua AB, I lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua AC, E lµ giao ®iÓm cña KI vµ AB. Chøng minh r»ng:
a) AIHC lµ tø gi¸c néi tiÕp
b) AI = AK
c) n¨m ®iÓm A, E, H, C, I cïng thuéc mét ®êng trßn
d) CE vu«ng gãc AB
Tứ giác nội tiếp
b)Tứ giác ABH’C là tứ giác nội tiếp
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
3. cho tam giác ABC vuông ở A, AB<AC, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HB = HD. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
a) tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp
b) CB là phân giác của góc ACE;
c) Tam giác AHE là tam giác cân.
1.Cho tam giác ABC, góc B = 600. Hai tia phân giác của góc A và góc C cắt các cạnh BC và BA lần lượt ở E và F và cắt nhau ở I. Chứng minh:
D2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C cố định trên nửa đường tròn. Điểm M thuộc cung AC ( M khác A;C). hạ MH vuông góc AB tại H. Nối MB cắt CA tại E. hạ EI vuông góc AB tại I. Gọi K là giao điểm của AC và MH. Chứng minh:
a) BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp
b) AK.AC = AM2.
c) AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vào vị trí điểm M
D3. Cho ®êng trßn (0;R) víi ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, EF lµ ®êng kÝnh di ®éng. KÎ ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i B. nèi AE, AF c¾t ®êng th¼ng d lÇn lît t¹i M vµ N.
a) Chøng minh tø gi¸c AEBF lµ hcn
b) Chøng minh AE.AM = AF.AN
c) H¹ AD vu«ng gãc EF c¾t MN t¹i I. chøng minh I lµ trung ®iÓm cña MN.
D4. Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O) ®êng kÝnh BD ( gãc ADC > 900 ). C¸c ®êng th¼ng AB vµ DC c¾t nhau t¹i E, c¸c ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i F.
a) chøng minh BD vu«ng gãc EF
b) chøng minh BA.BE = BC.BF
c) gäi H lµ giao ®iÓm cña BD vµ EF. Chøng mÞnh D lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c AHC.
B5. Cho ®êng trßn (O; R), d©y AB cè ®Þnh. ®iÓm M thuéc cung lín AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña d©y AB. vÏ ®êng trßn (O’) qua M tiÕp xóc víi AB t¹i A, tia MI c¾t ®êng trßn (O’) t¹i N vµ c¾t ®êng trßn (O : R) t¹i C.
a) chøng minh NA song song BC;
b) chøng minh tam gi¸c INB ®ång d¹ng tam gi¸c IBM
D6. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn ( AC<AB). Dựng về phia ngoài tam giác ABC một hình vuông ACED. Tia EA cắt nửa đường tròn tại F. nối BF cắt ED tại K.
a) Chứng minh: bốn điểm B, C, D, K thuộc một đường tròn
b) Chứng minh AB = EK.
c) Cho góc ABC = 300, BC = 10cm. Tính diện tích hình viên phân tạo bởi dây AC và cung nhỏ AC.
B7.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. kẻ đường kính AA’. Goi I là trung điểm của BC.
a) chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b) ba điểm H, I, A’ thẳng hàng.
c) DH.DA = DB.DC
B8. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Điểm E chuyển động trên đoạn BC, nối AE cắt cung BC tại H. nối BH cắt AC tại K. nối KE cắt AB tại M.
a) Chứng minh KCEH nội tiếp
B9. cho tam nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m (O), gäi A’, B’ C’ lµ giao ®iÓm cña ®êng trßn (O) víi ®êng ph©n gi¸c trong cña c¸c gãc A, gãc B, gãc C cña tam gi¸c. nèi B’C’ c¾t AB, AC lÇn lît ë M, N. gäi I lµ giao ®iÓm cña AA’, BB’, CC’. chøng minh
a) tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c c©n.
b) I lµ trùc t©m cña tam gi¸c A’B’C’.
c) Tø gi¸c BIMC’ néi tiÕp.
D10. Cho ®êng trßn (O;R) vµ ®iÓm A thuéc ®êng trßn. KÎ tiÕp tuyÕn Ax víi ®êng trßn. Trªn Ax lÊy ®iÓm H sao cho AH<R. Dùng ®êng th¼ng d vu«ng gãc Ax t¹i H. ®êng th¼ng d c¾t ®êng trßn t¹i E vµ B ( E n»m gi÷a H vµ B)
a) chøng minh tam gi¸c ABH ®ång d¹ng tam gi¸c EAH.
b) LÊy ®iÓm C thuéc Ax sao cho H lµ trung ®iÓm cña AC. Nèi CE c¾t AB t¹i K. Chøng min tø gi¸c AHEK néi tiÕp.
D11. cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R. kÎ 2 tiÕp tuyÕn Ax, By víi nöa ®êng trßn. M lµ mét ®iÓm trªn nöa ®êng trßn. TiÕp tuyÕn víi nöa ®êng trßn t¹i M c¾t Ax, By t¬ng øng t¹i C vµ D. Nèi OC c¾t AM t¹i I, nèi OD c¾t BM t¹i K.
a) chøng minh OACN vµ CIKD lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp.
b) cho R = 5cm, gãc MDB = 600. TÝnh MA, MB.
c) BM c¾t Ax t¹i E. Chøng minh C lµ trung ®iÓm cña AE.
B12. Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R. ®iÓm H thuéc ®o¹n AO, kÎ d©y CD vu«ng gãc AB t¹i H. vÏ ®êng trßn t©m I ®êng kÝnh AH vµ ®êng trßn t©m K ®êng kÝnh BH, nèi AC c¾t ®êng trßn (I) t¹i E; nèi BC c¾t ®êng trßn (K) t¹i F.
a) chøng minh HECF lµ hÝnh ch÷ nhËt
b) Tø gi¸c ABFE néi tiÕp
c) EF c¾t ®êng trßn (O) t¹i M vµ N. chøng minh tam gi¸c CMN lµ tam gi¸c c©n.
B13. Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R. gäi I lµ ®iÓm cè ®inh trªn ®o¹n OB. ®iÓm C thuéc ®êng trßn (O) (CA>CB). Dùng ®êng th¼ng d vu«ng gãc AB t¹i I; d c¾t BC t¹i E, c¾t AC t¹i F
a) chøng minh bãn ®iÓm A,I,C,F thuéc mét ®êng trßn.
b) IE.IF = IA.IB.
B14. Cho ®êng trßn (O; R) vµ ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn. Qua A kÎ 2 tiÕp tuyÕn AB, AC tãi ®êng trßn (B vµ C lµ tiÕp ®iÓm). I lµ mét ®iÓm thuéc ®o¹n BC. (IB <IC). kÎ ®êng th¼ng d vu«ng gãc OI t¹i I. ®êng th¼ng d c¾t AB, AC lÇn lît t¹i E vµ F.
a) chøng minh OIBE vµ OIFC lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp.
b) chøng minh I lµ trung ®iÓm cña EF.
c) K lµ mét ®iÓm trªn cung nhá BC. TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i K c¾t AB, AC t¹i M vµ N. TÝnh chu vi tam gi¸c AMN nÕu OA = 2R.
D15. Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R. gäi C lµ trung ®iÓm OA. D©y MN vu«ng gãc AB t¹i C. trªn cunbg nhá MB lÊy ®iÓm K. nèi AK c¾t MN t¹i H.
a) chøng minh BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp
b) chøng minh tÝch AH.HK kh«ng ®«I khi K di chuyÓn trªn cung nhá MB
c) tam gi¸c BMN lµ tam gi¸c ®Òu.
B16. cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. kÎ tiÕp tuyÕn Ax víi ®êng trßn. Trªn Ax lÊy ®iÓm K (AK
R). qua K kÎ tiÕp tuyÕn KM víi ®êng trßn (O). ®êng th¼ng d vu«ng gãc AB t¹i O, d c¾t MB t¹i E.
a) chøng minh KAOM lµ tø gi¸c néi tiÕp.
b) OK c¾t AM t¹i I, chøng minh OI.OK kh«ng ®æi khi K chuyÓn ®éng trªn Ax
c) chøng minh KAOE lµ hcn.
Gãc néi tiÕp.
1. Cho ®êng trßn (o) hai d©y AB vµ CD c¾t nhau ë I. Chøng minh r»ng IA.IB = IC.ID ( Trêng hîp I n»m bªn trong ®êng trßn )
2. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O ; R), ®êng cao AH (H thuéc BC) tia AO c¾t ®êng trßn ë D. Chøng minh:
a) Tam gi¸c ABH ®ång d¹ng Tam gi¸c ADC
b) R = AB.AC/2AH
3. Cho tam gi¸c ABC (AB<AC) néi tiÕp ®êng trßn (O), ®êng cao AH (H thuéc BC), AH c¾t ®êng trßn ë D, AO c¾t ®êng trßn ë E.
a) so s¸nh hai gãc BAH vµ OAC
b) Tø gi¸c BCED lµ h×nh g×? v× sao?
4. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O) cã trùc t©m H n»m trong tam gi¸c, tia AO c¾t ®êng trßn ë D.
a) Tø gi¸c BHCD lµ h×nh g× ? v× sao ?
b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh ba ®iÓm H, I, D th¶ng hµng
c) Chøng minh OI = 1/2 AH
Gãc néi tiÕp
5. Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, néi tiÕp ®êng trßn (O). Gäi M lµ mét ®iÓm trªn cung BC, tia AM c¾t c¹nh BC ë D, Chøng minh:
a) MA lµ tia ph©n gi¸c cña BMC.
b) TÝch AM.AD kh«ng ®æi khi M di chuyÓn trªn cung BC.
6. Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB. Trªn nöa ®êng trßn lÊy hai ®iÓm M vµ N sao cho cung AM = cung MN = cung NB. Gäi giao ®iÓm cña AM víi BN lµ P, cña AN víi BM lµ H. Chøng minh:
a) PH vu«ng gãc víi AB
b) Tø gi¸c AMNB lµ h×nh thang c©n.
7. Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp ®êng trßn (O). Gäi M lµ 1 ®iÓm trªn cung nhá BC. Trªn tia MA lÊy ®iÓm D sao cho MD = MB.
a) MA lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BMC
b) Tam gi¸c BMD lµ tam gi¸c gØ/ v× sao ?
c) So s¸nh hai tam gi¸c ADB vµ tam gi¸c CMB.
d) Chøng minh r»ng MA = MB + MC
8. Tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O ; R). Gäi AH lµ ®êng cao cña tam gi¸c. §Æt BC = a, CA = b, AB = c, AH = h. Chøng minh:
a) bc = 2R.h
b) diÖn tÝch tam gi¸c ABC = abc/4R.
Gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y
1. Cho ®êng trßn (O) vµ ®iÓm M n»m bªn ngoµi ®êng trßn.Qua ®iÓm M kÎ tiÕp tuyÕn MT víi ®êng trßn ( T lµ tiÕp ®iÓm ) vµ c¸t tuyÕn MBA(A n»m gi÷a M vµ B).
a) so s¸nh hai gãc ATM vµ Gãc ABT.
b) Chøng minh MT2 = MA.MB.
2. Cho hai ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (O”) tiÕp xóc ngoµi t¹i ®iÓm A. Qua A kÎ mét c¸t tuyÕn c¾t ®êng trßn (O) ë B, c¾t ®êng trßn (O”) ë C. Goi BD vµ CE lµ d©y cung cña ®êng trßn (O) vµ (O”). BiÕt BD song song CE.
a) So s¸nh c¸c cung nhá AD vµ cung AE cña ®êng trßn (O) vµ (O”)
b) KÎ tiÕp tuyÕn chung trong xAy cña hai ®êng trßn t¹i A ( tia Ax thuéc nöa mÆt ph¼ng bê OO” chøa ®iÓm D). So s¸nh c¸c gãc Dax vµ gãc Eay tõ ®ã chøng minh ba ®iÓm A, E, D th¼ng hµng.
3. Cho ®êng trßn (O), d©y cung MN, tiÕp tuyÕn Mx. Trªn tia Mx lÊy ®iÓm T sao cho MT = MN. §êng th¼ng TN c¾t ®êng trßn ë S.
Chøng minh: a) Gãc SMT = gãc T
b) SM = ST
4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một điểm C trên nửa đường tròn. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường tròn ở D. Kẻ AH vuông góc CD. Chứng minh:
a) AH là tiếp tuyến của đường tròn (O).
b) góc ACD = góc DAH
c) AH2 = HC.HD
5. Cho hai đường tròn (O) và (O”) tiếp xúc ngoài tại . một cát tuyến kẻ qua A cắt đường tròn (O) ở B, cắt đường tròn (O”) ở C. kẻ các đường kính BD và CE của hai đường tròn (O) và (O”).
a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b)BD song song CE.
c) nếu đường tròn (O) = đường tròn (O”)thì tứ giác BDCE là hình gì ? vì sao ?
6. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB vả một điểm C trên nửa đường tròn. Qua điểm D trên đoạn AB kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt BC ở F. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C cắt đường vuông góc ở D tại I. Gọi E là giao điểm của AC và DF
a) so sánh góc IEC với góc ICE và góc ABC ;
b) Chứng minh tam giác EIC là tam giác cân ;
c) Chứng minh IE=IC=IF
Gãc t¹o bëi tiÕp tuyÕn vµ d©y
1. Cho ®êng trßn (O) vµ ®iÓm M n»m bªn ngoµi ®êng trßn.Qua ®iÓm M kÎ tiÕp tuyÕn MT víi ®êng trßn ( T lµ tiÕp ®iÓm ) vµ c¸t tuyÕn MBA(A n»m gi÷a M vµ B).
a) so s¸nh hai gãc ATM vµ Gãc ABT.
b) Chøng minh MT2 = MA.MB.
2. Cho hai ®êng trßn (O) vµ ®êng trßn (O”) tiÕp xóc ngoµi t¹i ®iÓm A. Qua A kÎ mét c¸t tuyÕn c¾t ®êng trßn (O) ë B, c¾t ®êng trßn (O”) ë C. Goi BD vµ CE lµ d©y cung cña ®êng trßn (O) vµ (O”). BiÕt BD song song CE.
a) So s¸nh c¸c cung nhá AD vµ cung AE cña ®êng trßn (O) vµ (O”)
b) KÎ tiÕp tuyÕn chung trong xAy cña hai ®êng trßn t¹i A ( tia Ax thuéc nöa mÆt ph¼ng bê OO” chøa ®iÓm D). So s¸nh c¸c gãc Dax vµ gãc Eay tõ ®ã chøng minh ba ®iÓm A, E, D th¼ng hµng.
3. Cho ®êng trßn (O), d©y cung MN, tiÕp tuyÕn Mx. Trªn tia Mx lÊy ®iÓm T sao cho MT = MN. §êng th¼ng TN c¾t ®êng trßn ë S.
Chøng minh: a) Gãc SMT = gãc T
b) SM = ST
Bài tập tự luyện Khiêm khù
Bµi 1 Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau:
a/
b/ Bµi 2 : Trong th¸ng ®Çu, hai tæ c«ng ng©n s¶n suÊt ®îc 300 s¶n phÈm. Sang th¸ng thø hai, tæ I s¶n xuÊt vît møc 15%, tæ II s¶n xuÊt vît møc 20%, do ®ã cuèi th¸ng c¶ hai tæ s¶n xuÊt ®îc 352 s¶n phÈm. Hái r»ng trong th¸ng ®Çu, mçi tæ c«ng nh©n s¶n xuÊt ®îc bao nhiªu s¶n phÈm
Bài 3.Giải các hệ phương trình sau:
a/
b/ Bài 4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Một trạm bơm cho chạy 6 máy bơm lớn và 5 máy bơm nhỏ tiêu thụ hết 670 lít xăng. Biết rằng mỗi máy bơm lớn tiêu thụ nhiều hơn mỗi máy bơm nhỏ 20 lít. Tính số xăng mỗi loại máy bơm đã tiêu thụ.
Bài 5.Gi¶i c¸c HPT: a)
b) Bài 6 . T×m sè tù nhiªn cã hai ch÷ sè, biÕt ch÷ sè hµng chôc h¬n ch÷ sè hµng ®¬n vÞ lµ 2 nÕu viÕt thªm 1 ch÷ sè n÷a b»ng ch÷ sè hµng chôc vµo bªn ph¶i th× ®îc sè míi lín h¬n sè ban ®Çu lµ 682.
Bài 7 .Hai ngêi lµm chung mét CV th× mÊt 20 ngµy. Sau khi lµm chung ®îc 12 ngµy th× ngêi A nghØ. Ngêi B lµm mét m×nh tiÕp 12 ngµy n÷a th× A quay vÒ lµm cho B nghØ. Ngêi A ph¶i lµm tiÕp rong 6 ngµy n÷a míi xong. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi ngêi ph¶i mÊt bao nhiªu ngµy?
Bài 8.Giải các hệ phương trình sau:
a)
Bài 9. Cho hệ phương trình:
a) Với giá trị nào của n thì hệ phương trình có nghiệm là (x ; y) = (2 ; -1).
b) Với giá trị nào của n thì hệ phương trình có duy nhất nghiệm? Hệ phương trình vô nghiệm ?
Bài 10. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm trong 4h người thứ hai làm trong 3h thì đựơc 50% công việc. Hỏi mỗi người làm 1 mình trong mấy giờ thì xong công việc?
ĐỀ KIỂM TRA
Câu I : Cho phương trình : 2x + y = 5 (1)
1. Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1)
2. Xác định a để cặp số (–1 ; a) là nghiệm của phương trình (1).
Câu II :
Cho hệ phương trình : (I)
. Không giải hệ phương trình, hãy xác định số nghiệm của hệ (I) dựa vào vị trí tương đối của 2 đường thẳng (d1) và (d2).
C©u III Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện để A có nghĩa
b) Chửng tỏ rằng giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào a
Câu IV : Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình :
Số học sinh giỏi và khá học kì I của một trường THCS Trần Quốc Toản là 272 em, mỗi học sinh giỏi được thưởng 8 quyển vở, mỗi học sinh khá được thưởng 5 quyển vở. Tổng số vở phát thưởng là 1675 quyển. Tính số học sinh giỏi và học sinh kha của trường.
Câu IV : Cho hệ phương trình:
Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 11 Cho hệ phương trình : (I)
. Không giải hệ phương trình, hãy xác định số nghiệm của hệ (I) dựa vào vị trí tương đối của 2 đường thẳng (d1) và (d2).
Bài 5: Cho biểu thức
a) Tìm đk xác định b) Rút gọn biểu thức B
Bài 13 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình :
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 46 mét, nếu tăng chiều dài 5 mét và giảm chiều rộng 3 mét thì chiều dài gấp 4 lần chiều rộng . Hỏi kích thước khu vườn đó là bao nhiêu ?
Bài 14. Giải hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:
1. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O), cã gãc B = 460 , gãc C = 720
a) TÝnh gãc A cña tam gi¸c ABC.
b) Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t ®êng trßn ë M, tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t ®êng trßn ë N. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AM vµ BN. TÝnh c¸c gãc BIM vµ gãc MBI
c) chøng minh MB=MC=MI
2. Cho tam gi¸c ABC c©n ë A néi tiÕp ®êng trßn (O). Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t ®êng trßn ë D, tia ph©n gi¸c cña gãc C c¾t ®êng trßn ë F. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BD vµ CF.
Tø gi¸c ADEF lµ h×nh g×? V× sao?
3. Cho ®êng trßn (O), hai d©y cung AB vµ AC. Gäi I vµ J theo thø tù lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB vµ cung AC. §êng th¼ng IJ c¾t AB vµ AC lÇn lît ë K vµ H. Chøng minh AK = AH.
4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Gọi C là một điểm nửa đường tròn. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đường tròn ở E, AE và BC cắt nhau ở K.
- tam giác ABK là tam giác gì? Vì sao?
- Gọi I là giao điểm cùa AC và BE. Chứng minh KI song song Ax .
- Chứng minh OE song song BC.
1. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®êng trßn (O), cã gãc B = 460 , gãc C = 720
a) TÝnh gãc A cña tam gi¸c ABC.
b) Tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t ®êng trßn ë M, tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t ®êng trßn ë N. Gäi I lµ giao ®iÓm cña AM vµ BN. TÝnh c¸c gãc BIM vµ gãc MBI
c) chøng minh MB=MC=MI
2. Cho tam gi¸c ABC c©n ë A néi tiÕp ®êng trßn (O). Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t ®êng trßn ë D, tia ph©n gi¸c cña gãc C c¾t ®êng trßn ë F. Gäi E lµ giao ®iÓm cña BD vµ CF.
Tø gi¸c ADEF lµ h×nh g×? V× sao?
3. Cho ®êng trßn (O), hai d©y cung AB vµ AC. Gäi I vµ J theo thø tù lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung AB vµ cung AC. §êng th¼ng IJ c¾t AB vµ AC lÇn lît ë K vµ H. Chøng minh AK = AH.
4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Ax. Gọi C là một điểm nửa đường tròn. Tia phân giác của góc Cax cắt nửa đường tròn ở E, AE và BC cắt nhau ở K.
- tam giác ABK là tam giác gì? Vì sao?
- Gọi I là giao điểm cùa AC và BE. Chứng minh KI song song Ax .
- Chứng minh OE song song BC.
- .Hai ngêi lµm chung mét CV th× mÊt 20 ngµy. Sau khi lµm chung ®îc 12 ngµy th× ngêi A nghØ. Ngêi B lµm mét m×nh tiÕp 12 ngµy n÷a th× A quay vÒ lµm cho B nghØ. Ngêi A ph¶i lµm tiÕp rong 6 ngµy n÷a míi xong. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi ngêi ph¶i mÊt bao nhiªu ngµy?
1.Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Từ M kẻ tiếp tuyến MA( A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC tới đường tròn. Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Chứng minh:
a) MA = MD b) AD.AE = AC. AB
2. Cho đường tròn (O) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SA’ (A và A’ là tiếp điểm) và cát tuyến SBC tới đường tròn. Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Gọi H là giao điểm của OS và AA’. Gọi G là giao điểm của OE và BS còn F là giao điểm của AA’ với BC. Chứng minh :
a) Tam giác SAD là tam giác cân
b) SF.SG=SO.SH ;
c) SA2 = SF.SG.
3. Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến ABC và AMN. Hai đường thẳng BN và AM cắt nhau ở S. Chứng minh :
a) góc A + góc BSM = góc 2CBN
b) AM.AN = AB.AC
4. Cho đường tròn (O) , dây BC. Gọi A là một điểm trên cung lớn BC sao cho cung AB< cung AC, D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau ở E. Gọi P là giao điểm cảu AB và CD, Q là giao điểm của AD và CE. Chứng minh:
a) DE song song BC
b) góc APC = góc AQC
1.Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm bên ngoài đường tròn. Từ M kẻ tiếp tuyến MA( A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC tới đường tròn. Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Chứng minh:
a) MA = MD b) AD.AE = AC. AB
2. Cho đường tròn (O) và điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA và SA’ (A và A’ là tiếp điểm) và cát tuyến SBC tới đường tròn. Phân giác của góc BAC cắt BC ở D, cắt đường tròn ở E. Gọi H là giao điểm của OS và AA’. Gọi G là giao điểm của OE và BS còn F là giao điểm của AA’ với BC. Chứng minh :
a) Tam giác SAD là tam giác cân b) SF.SG=SO.SH ; c) SA2 = SF.SG.
3. Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai cát tuyến ABC và AMN. Hai đường thẳng BN và AM cắt nhau ở S. Chứng minh :
a) góc A + góc BSM = góc 2CBN b) AM.AN = AB.AC
4. Cho đường tròn (O) , dây BC. Gọi A là một điểm trên cung lớn BC sao cho cung AB< cung AC, D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Tiếp tuyến của đường tròn tại C và D cắt nhau ở E. Gọi P là giao điểm cảu AB và CD, Q là giao điểm của AD và CE. Chứng minh:
a) DE song song BC b) góc APC = góc AQC
1. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Phân giác của góc C và góc B cắt đường tròn lần lượt ở D và F. Gọi E là giao điểm của CD và BF. Chứng minh tứ giác ADEF là hình thoi.
2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm M và N sao cho cung AM =cung MN = cung NB. Gọi P là giao điểm của AM và BN. Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại B và M cắt nhau ở Q. Chứng minh:
a) góc APB = góc MQB
b) MN là phân giác của góc BMQ.
3. Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD ( C nằm giữa A và D). Tia phân giác của góc BAC cắt BC ở M, cắt BD ở N. Vẽ dây BF vuông góc với MN tại H, cắt CD tại E. Chứng minh:
a) tam giác BMN là tam giác cân;
b) FD2 = FE . FB.
4. cho đường tròn (O ; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đường kính AB lấy điểm E sao cho AE = R
. Qua E vẽ dây CF. Tiếp tuyến của đường tròn tại F cắt đường thẳng CD tại M, AF cắt CD tại N. Chứng minh:a) MF song song AC
b) CF là phân giác của góc BCD.
5. cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I. Cắt đường tròn lần lượt ở D và E. Gọi F là giao điểm của AC và DE.
a) tam giác BID là tam giác gì? Vì sao?
b) chứng minh DE là trung trực của IC
c) chứng minh IF song song BC
6. cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tai K. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AD ( A thuộc (O), D thuộc (O’) ). Vẽ đường kính AOB, rồi vẽ qua B tiếp tuyến BM với đường tròn (O’). Chứng minh:
a) ba điểm B, K, D thẳng hàng;
b) AB2 = BK . BD;
c) BM = AB.
7. Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB, dây AC, tiếp tuyến Ax. Phân giác của góc CAx cắt BC ở D, cắt nửa đường tròn ở E. Gọi H là giao điểm của AC và BE. Chứng minh:
a) OE vuông góc với AC;
b) E là trung điểm của AD;
c) DH vuông góc với AB.
8. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, AC lần lượt ở B và C. Gọi M là một điểm trên cung lớn BC, qua M kẻ MD, ME, MF theo thứ tự vuông góc với BC, CA và AB. Chứng minh: a)
FMB đồng dạng DMC và EMC đ dạng MDBb) MD2 = ME . MF
Tứ giác nội tiếp
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M nằm trên AC, đtròn đường kính CM cắt BC tại E, BM cắt đròn tại D
a) CMR: tứ giác BADC nội tiếp
b) DB là phân giác của góc EDA
c) CMR 3 đường thẳng BA, EM, CD đồng quy
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại E, cắt AC tại F. Các tia BF cà CE cắt nhau tại H. CMR:
a) AH vuông góc với BC
b) Gọi K là giao điểm của AH và BC. CMR: FB là phân giác của góc EFK
c) Gọi M là trung điểm của BH. CMR: tứ giác EMKF nt
Bài 3: Cho đtròn (O), điểm A nằm bên ngoài đtròn. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đtròn (B, C là các tiếp điểm). M là một điểm trên dây BC, đthẳng qua M vuông góc với OM cắt tia AB và AC lần lượt tại D và E. CMR:
a) Các tứ giác: BDOM; ECOM nt
b) M là trung điểm của DE
Bài 4: Cho đtròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AB). Qua B kẻ cát tuyến vuông góc với AB cắt đtròn (O) ở C, căt đtròn (O’) ở D, tia CA cắt (O’) ở I, tia DA cắt (O) ở K.
a) CMR: tứ giác CKID nt
b) Gọi M là giao điểm của CK và DI. Chứng minh 3 điểm M, A, B thẳng hàng
Bài 5: Cho đtròn (O) đường kính AB, M là 1 điểm trên đtròn; C là 1 điểm nằm giữa A và B. qua M kẻ đthẳng vuông góc với CM, đthẳng này cắt các tiếp tuyến của (O) kẻ từ A và B lần lượt tại E và F. CMR:
a) Các tứ giác: AEMC, BCMF nt
b) Tam giác ECF vuông tại C
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nt đtròn (O), có 2 đường cao BB’ và CC
a) CMR: tứ giác BCB’C’ nt
b) Tia AO cắt đtròn (O) ở D và cắt B’C’ ở I. CMR: tứ giác BDIC’ nt
c) Chứng minh OA vuông góc với B’C’
Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên 2 cạnh BC và CD sao cho
. AM và AN cắt đường chéo BD tại P và Q. Gọi H là giao điểm của MQ và NP. CMR:a) Tứ giác ABMQ nt
b) Tam giác AQM vuông cân
c) AH vuông góc với MN
Bài 8. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC = BE.ED. chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp được đường tròn.
Bài 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi I là giao điểm các phân giác trong của góc B góc và góc C, còn E là giao điểm các phân giác ngoài của góc B và góc C, M là giao điểm của AE với đường tròn (O). chứng minh:
a) tứ giác BICE nội tiếp
b) M là trung điểm của IE.
Bài 10. cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Hai tiếp tuyến Ax và By. Gọi C là một điểm nằm giưa A và B, M là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM cắt Ax ở D, cắt By ở E.
a) Chứng minh tứ giác ACMD và tứ giác BCME là các tứ giác nội tiếp.
b) So sánh các góc MDC với góc MAB và góc MEC với góc MBA
c) chứng minh tam giác CDE là tam giác vuông.
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB’ và CC’. Tia AO cắt đường tròn ở D và cát B’C’ ở I. Chứng minh:
a)Tứ giác BCB’C’ là tứ giác nội tiếp
b) tam giác AB’C’ đồng dạng tam giác ABC c) Tứ giác B’IDC là tứ giác nội tiếp.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên 2 cạnh BC và CD sao cho
. AM và AN cắt đường chéo BD tại P và Q. Gọi H là giao điểm của MQ và NP. CMR:a) Tứ giác ABMQ nt b) Tam giác AQM vuông cân
c) AH vuông góc với MN
Bài 8. Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Biết AE.EC = BE.ED. chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp được đường tròn.
Bài 9. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). gọi I là giao điểm các phân giác trong của góc B góc và góc C, còn E là giao điểm các phân giác ngoài của góc B và góc C, M là giao điểm của AE với đường tròn (O). chứng minh:
a) tứ giác BICE nội tiếp
b) M là trung điểm của IE.
Bài 10. cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Hai tiếp tuyến Ax và By. Gọi C là một điểm nằm giưa A và B, M là một điểm nằm trên nửa đường tròn. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với CM cắt Ax ở D, cắt By ở E.
a) Chứng minh tứ giác ACMD và tứ giác BCME là các tứ giác nội tiếp.
b) So sánh các góc MDC với góc MAB và góc MEC với góc MBA
c) chứng minh tam giác CDE là tam giác vuông.
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB’ và CC’. Tia AO cắt đường tròn ở D và cát B’C’ ở I. Chứng minh:
a)Tứ giác BCB’C’ là tứ giác nội tiếp
b) tam giác AB’C’ đồng dạng tam giác ABC
Bài 4: Cho đtròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ thuộc 2 nửa mặt phẳng bờ AB). Qua B kẻ cát tuyến vuông góc với AB cắt đtròn (O) ở C, căt đtròn (O’) ở D, tia CA cắt (O’) ở I, tia DA cắt (O) ở K.
a) CMR: tứ giác CKID nt
b) Gọi M là giao điểm của CK và DI. Chứng minh 3 điểm M, A, B thẳng hàng
Bài 5: Cho đtròn (O) đường kính AB, M là 1 điểm trên đtròn; C là 1 điểm nằm giữa A và B. qua M kẻ đthẳng vuông góc với CM, đthẳng này cắt các tiếp tuyến của (O) kẻ từ A và B lần lượt tại E và F. CMR:
a) Các tứ giác: AEMC, BCMF nt
b) Tam giác ECF vuông tại C
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn nt đtròn (O), có 2 đường cao BB’ và CC
a) CMR: tứ giác BCB’C’ nt
b) Tia AO cắt đtròn (O) ở D và cắt B’C’ ở I. CMR: tứ giác BDIC’ nt
c) Chứng minh OA vuông góc với B’C’
12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, BC lần lượt ở D và E. Qua C kẻ CF vuông góc với OA. Chứng minh.
a) tam giác ACF vuông cân
b) Tứ giác BDOE và COEF nội tiếp
13. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm thuộc cung AC. Kẻ MD; ME; MF lần lượt vuông góc với BC, BA và AC. Chứng minh
a) Tứ giác AEMF và DCMF là các tứ giác nội tiếp
b) ba điểm E;D;F thẳng hàng.
14. Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm I trên cạnh AC. Vẽ đường tròn đường kính IC cắt BC ở E, cắt BI ở D ( D khác I). Chứng minh:
a) tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
c) Ba đường thẳng AB, CD, EI đồng quy.
15. Cho tam gi¸c nhän ABC, trùc t©m H néi tiÕp ®êng trßn (O).
a) AH c¾t ®êng trßn (O)t¹i E, chøng minh E ®èi xøng víi H qua AB;
b) Gäi D lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC, chøng minh D thuéc ®êng trßn (O).
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB’ và CC’. Tia AO cắt đường tròn ở D và cát B’C’ ở I. Chứng minh:
a)Tứ giác BCB’C’ là tứ giác nội tiếp
b) tam giác AB’C’ đồng dạng tam giác ABC
12. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, BC lần lượt ở D và E. Qua C kẻ CF vuông góc với OA. Chứng minh.
a) tam giác ACF vuông cân
b) Tứ giác BDOE và COEF nội tiếp
13. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm thuộc cung AC. Kẻ MD; ME; MF lần lượt vuông góc với BC, BA và AC. Chứng minh
a) Tứ giác AEMF và DCMF là các tứ giác nội tiếp
b) ba điểm E;D;F thẳng hàng.
14. Cho tam giác ABC vuông tại A và điểm I trên cạnh AC. Vẽ đường tròn đường kính IC cắt BC ở E, cắt BI ở D ( D khác I). Chứng minh:
a) tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp
b) I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE
c) Ba đường thẳng AB, CD, EI đồng quy.
15. Cho tam gi¸c nhän ABC, trùc t©m H néi tiÕp ®êng trßn (O).
a) AH c¾t ®êng trßn (O)t¹i E, chøng minh E ®èi xøng víi H qua AB;
b) Gäi D lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua BC, chøng minh D thuéc ®êng trßn (O).
16.Cho tam gi¸c c©n ABC c©n t¹i A, gãc A = 200. trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng ch÷a ®iÓm C lÊy ®iÓm D sao cho DA = DB vµ gãc DAB = 400. gäi E lµ giao ®iÓm cña AB vµ CD
a) chøng minh ACBD lµ tø gi¸c néi tiÕp.
b) TÝnh gãc AED.
17. Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A néi tiÕp ®êng (O). §iÓm E chuyÓn ®éng trªn c¹nh BC ( E kh¸c B vµ C). Nèi AE c¾t ®êng trßn (O) t¹i D ( D kh¸c A). H¹ CH vu«ng gãc víi AD t¹i H. Nèi BD c¾t CH t¹i M. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. Chøng minh:
a) Bèn ®iÓm A, I, H, C thuéc mét ®êng trßn.
b) TÝch AE.AD kh«ng ®æi;
c) §iÓm M thuéc mét ®êng trßn cè ®Þnh
18* Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. §iÓm D thuéc ®o¹n AB. vÏ ®êng trßn (O) ®êng kÝnh BD c¾t BC t¹i E. c¸c ®êng th¼ng CD, AE c¾t ®êng trßn (O) lÇn lît t¹i F vµ K.
- Chøng minh BC.BE = BD.BA
- Chøng minh bèn ®iÓm C, A, F, B thuéc mét ®êng trßn;
- Chøng minh AFKC lµ h×nh thang;
- Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF
- Chøng minh SEHF lµ tø gi¸c néi tiÕp
- Chøng minh OE.OS kh«ng phô thuéc vµo vÞ trÝ ®iÓm S trªn tia ®èi cña DC
- Cho R = 10cm, SD = 4cm, OH = 6cm. TÝnh CD vµ SA.
Ôn tập
1. Cho nửa đường tròn (O) và một điểm C trên nửa đường tròn đó. Gọi D là một điểm trên đường kính AB, qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AC , BC lần lượt ở E và F. tiếp tuyến của đường tròn tại C cắt EF tại I. chứng minh:
a) Tứ giác BDEC và ADCF là tứ giác nội tiếp.
b) I là trung điểm của EF
c) AE.EC = DE.DF
2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn. Tia BM cắt tiếp tuyến của nửa đường tròn kẻ từ A tại I, phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt BM tại F, tia BE cắt AI tại H, cắt AM tại K. chứng minh:
a) IA2 = IM.IB
b) tam giác ABF là tam giác cân
c) tứ giác AKFH là hình thoi
3.Cho đường tron (O) và đường thẳng d bên ngoài đường tròn, từ O kẻ OH vuông góc với d, qua H kẻ một đường thẳng cắt đường tròn (O) tại A và B. tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B cắt d lần lượt ở D và E. chứng minh:
a) tứ giác HOBE và HDOA nội tiếp
b) so sánh các góc ADO; AHO và BOE
c) H là trung điểm của DE.
4. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C cố định trên nửa đường tròn. Điểm M thuộc cung AC ( M khác A;C). hạ MH vuông góc AB tại H. Nối MB cắt CA tại E. hạ EI vuông góc AB tại I. Gọi K là giao điểm của AC và MH. Chứng minh:
a) BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp
b) AK.AC = AM2.
c) AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vào vị trí điểm M
Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đtròn (O), đường cao AH cắt đtròn ở D. Kẻ đường kính AE. CMR:
a) BC song song với DE
b) Tứ giác BCED là hình thang cân
Bài 6. Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C là điểm chính giữa cung AB, M là một điểm thay đổi trên cung CB. Qua C kẻ CN vuông góc AM.
- Chứng minh tam giác MNC vuông cân
- Chứng minh góc OCN = góc OAN
- Điểm M ở vị trí nào trên cung BC thì thì tam giác OMC là tam giác đều?
OB = 6cm, trên cạnh Oy lấy hai điểm C và D sao cho OC = 1,5 cm, OD = 8cm. Chứng minh:
- Tam giác OBC đồng dạng tam giác ODA
- Tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn.
- Góc BDC bằng OAC
- so sánh hai góc OAB và OCA
- Chứng minh tam giác AOM bằng tam giác CON
- Chứng minh tứ giác AOMN nội tiếp
- tứ giác ADOE là hình gì? Vì sao ?
- Chứng minh tứ giác DECB là hình thang cân
- Tam giác ABC cần có điều kiện gì để tứ giác DECB là hình chữ nhật.
10. Trªn ®êng trßn (O) lÊy hai ®iÓm B vµ D. Gäi A lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung lín BD. C¸c tia AD, AB c¾t tiÕp tuyÕn Bx vµ Dy cña ®êng trßn lÇn lît ë N vµ M. Chøng minh ;
a) tø gi¸c BDNM néi tiÕp
b) MN song song BD
c) MA.MB = MD2
11. cho tam gi¸c nhon ABC, ®êng cao AH. Gäi K lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua AB, I lµ ®iÓm ®èi xøng víi H qua AC, E lµ giao ®iÓm cña KI vµ AB. Chøng minh r»ng:
a) AIHC lµ tø gi¸c néi tiÕp
b) AI = AK
c) n¨m ®iÓm A, E, H, C, I cïng thuéc mét ®êng trßn
d) CE vu«ng gãc AB
Tứ giác nội tiếp
-
- Cho tam giác ABC, góc B = 600. Hai tia phân giác của góc A và góc C cắt các cạnh BC và BA lần lượt ở E và F và cắt nhau ở I. Chứng minh:
- Tứ giác BEIF là tứ giác nội tiếp đường tròn
- Tam giác EIF là tam giác cân.
-
- cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, nội tiếp đường tròn (O). Gọi H’là điểm đối xứng của H qua BC. Chứng minh:
b)Tứ giác ABH’C là tứ giác nội tiếp
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
3. cho tam giác ABC vuông ở A, AB<AC, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HB = HD. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
a) tứ giác AHEC là tứ giác nội tiếp
b) CB là phân giác của góc ACE;
c) Tam giác AHE là tam giác cân.
1.Cho tam giác ABC, góc B = 600. Hai tia phân giác của góc A và góc C cắt các cạnh BC và BA lần lượt ở E và F và cắt nhau ở I. Chứng minh:
D2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm C cố định trên nửa đường tròn. Điểm M thuộc cung AC ( M khác A;C). hạ MH vuông góc AB tại H. Nối MB cắt CA tại E. hạ EI vuông góc AB tại I. Gọi K là giao điểm của AC và MH. Chứng minh:
a) BHKC và AMEI là các tứ giác nội tiếp
b) AK.AC = AM2.
c) AE.AC + BE.BM không phụ thuộc vào vị trí điểm M
D3. Cho ®êng trßn (0;R) víi ®êng kÝnh AB cè ®Þnh, EF lµ ®êng kÝnh di ®éng. KÎ ®êng th¼ng d tiÕp xóc víi ®êng trßn (O) t¹i B. nèi AE, AF c¾t ®êng th¼ng d lÇn lît t¹i M vµ N.
a) Chøng minh tø gi¸c AEBF lµ hcn
b) Chøng minh AE.AM = AF.AN
c) H¹ AD vu«ng gãc EF c¾t MN t¹i I. chøng minh I lµ trung ®iÓm cña MN.
D4. Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn (O) ®êng kÝnh BD ( gãc ADC > 900 ). C¸c ®êng th¼ng AB vµ DC c¾t nhau t¹i E, c¸c ®êng th¼ng AD vµ BC c¾t nhau t¹i F.
a) chøng minh BD vu«ng gãc EF
b) chøng minh BA.BE = BC.BF
c) gäi H lµ giao ®iÓm cña BD vµ EF. Chøng mÞnh D lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c AHC.
B5. Cho ®êng trßn (O; R), d©y AB cè ®Þnh. ®iÓm M thuéc cung lín AB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña d©y AB. vÏ ®êng trßn (O’) qua M tiÕp xóc víi AB t¹i A, tia MI c¾t ®êng trßn (O’) t¹i N vµ c¾t ®êng trßn (O : R) t¹i C.
a) chøng minh NA song song BC;
b) chøng minh tam gi¸c INB ®ång d¹ng tam gi¸c IBM
D6. Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính BC. Điểm A thuộc nửa đường tròn ( AC<AB). Dựng về phia ngoài tam giác ABC một hình vuông ACED. Tia EA cắt nửa đường tròn tại F. nối BF cắt ED tại K.
a) Chứng minh: bốn điểm B, C, D, K thuộc một đường tròn
b) Chứng minh AB = EK.
c) Cho góc ABC = 300, BC = 10cm. Tính diện tích hình viên phân tạo bởi dây AC và cung nhỏ AC.
B7.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R), các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. kẻ đường kính AA’. Goi I là trung điểm của BC.
a) chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.
b) ba điểm H, I, A’ thẳng hàng.
c) DH.DA = DB.DC
B8. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Điểm E chuyển động trên đoạn BC, nối AE cắt cung BC tại H. nối BH cắt AC tại K. nối KE cắt AB tại M.
a) Chứng minh KCEH nội tiếp
B9. cho tam nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m (O), gäi A’, B’ C’ lµ giao ®iÓm cña ®êng trßn (O) víi ®êng ph©n gi¸c trong cña c¸c gãc A, gãc B, gãc C cña tam gi¸c. nèi B’C’ c¾t AB, AC lÇn lît ë M, N. gäi I lµ giao ®iÓm cña AA’, BB’, CC’. chøng minh
a) tam gi¸c AMN lµ tam gi¸c c©n.
b) I lµ trùc t©m cña tam gi¸c A’B’C’.
c) Tø gi¸c BIMC’ néi tiÕp.
D10. Cho ®êng trßn (O;R) vµ ®iÓm A thuéc ®êng trßn. KÎ tiÕp tuyÕn Ax víi ®êng trßn. Trªn Ax lÊy ®iÓm H sao cho AH<R. Dùng ®êng th¼ng d vu«ng gãc Ax t¹i H. ®êng th¼ng d c¾t ®êng trßn t¹i E vµ B ( E n»m gi÷a H vµ B)
a) chøng minh tam gi¸c ABH ®ång d¹ng tam gi¸c EAH.
b) LÊy ®iÓm C thuéc Ax sao cho H lµ trung ®iÓm cña AC. Nèi CE c¾t AB t¹i K. Chøng min tø gi¸c AHEK néi tiÕp.
D11. cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R. kÎ 2 tiÕp tuyÕn Ax, By víi nöa ®êng trßn. M lµ mét ®iÓm trªn nöa ®êng trßn. TiÕp tuyÕn víi nöa ®êng trßn t¹i M c¾t Ax, By t¬ng øng t¹i C vµ D. Nèi OC c¾t AM t¹i I, nèi OD c¾t BM t¹i K.
a) chøng minh OACN vµ CIKD lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp.
b) cho R = 5cm, gãc MDB = 600. TÝnh MA, MB.
c) BM c¾t Ax t¹i E. Chøng minh C lµ trung ®iÓm cña AE.
B12. Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R. ®iÓm H thuéc ®o¹n AO, kÎ d©y CD vu«ng gãc AB t¹i H. vÏ ®êng trßn t©m I ®êng kÝnh AH vµ ®êng trßn t©m K ®êng kÝnh BH, nèi AC c¾t ®êng trßn (I) t¹i E; nèi BC c¾t ®êng trßn (K) t¹i F.
a) chøng minh HECF lµ hÝnh ch÷ nhËt
b) Tø gi¸c ABFE néi tiÕp
c) EF c¾t ®êng trßn (O) t¹i M vµ N. chøng minh tam gi¸c CMN lµ tam gi¸c c©n.
B13. Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R. gäi I lµ ®iÓm cè ®inh trªn ®o¹n OB. ®iÓm C thuéc ®êng trßn (O) (CA>CB). Dùng ®êng th¼ng d vu«ng gãc AB t¹i I; d c¾t BC t¹i E, c¾t AC t¹i F
a) chøng minh bãn ®iÓm A,I,C,F thuéc mét ®êng trßn.
b) IE.IF = IA.IB.
B14. Cho ®êng trßn (O; R) vµ ®iÓm A ë ngoµi ®êng trßn. Qua A kÎ 2 tiÕp tuyÕn AB, AC tãi ®êng trßn (B vµ C lµ tiÕp ®iÓm). I lµ mét ®iÓm thuéc ®o¹n BC. (IB <IC). kÎ ®êng th¼ng d vu«ng gãc OI t¹i I. ®êng th¼ng d c¾t AB, AC lÇn lît t¹i E vµ F.
a) chøng minh OIBE vµ OIFC lµ c¸c tø gi¸c néi tiÕp.
b) chøng minh I lµ trung ®iÓm cña EF.
c) K lµ mét ®iÓm trªn cung nhá BC. TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) t¹i K c¾t AB, AC t¹i M vµ N. TÝnh chu vi tam gi¸c AMN nÕu OA = 2R.
D15. Cho ®êng trßn (O), ®êng kÝnh AB = 2R. gäi C lµ trung ®iÓm OA. D©y MN vu«ng gãc AB t¹i C. trªn cunbg nhá MB lÊy ®iÓm K. nèi AK c¾t MN t¹i H.
a) chøng minh BCHK lµ tø gi¸c néi tiÕp
b) chøng minh tÝch AH.HK kh«ng ®«I khi K di chuyÓn trªn cung nhá MB
c) tam gi¸c BMN lµ tam gi¸c ®Òu.
B16. cho ®êng trßn (O; R) ®êng kÝnh AB. kÎ tiÕp tuyÕn Ax víi ®êng trßn. Trªn Ax lÊy ®iÓm K (AK
R). qua K kÎ tiÕp tuyÕn KM víi ®êng trßn (O). ®êng th¼ng d vu«ng gãc AB t¹i O, d c¾t MB t¹i E.a) chøng minh KAOM lµ tø gi¸c néi tiÕp.
b) OK c¾t AM t¹i I, chøng minh OI.OK kh«ng ®æi khi K chuyÓn ®éng trªn Ax
c) chøng minh KAOE lµ hcn.